Навигация
Курс создан как полугодовой клон годового спецкурса "Обшая топология и топологическая алгебра" для тех, кому нужен именно полугодовой курс; слушать следует оригинальный курс "Общая топология и топологическая алгебра", клон создан лишь для того, чтобы иметь возможность зачесть курс как полугодовой и получить аудиторию для бесед с особо любознательными слушателями.
Вопросы к экзамену
(общих конспектов по курсу нет, но ссылки на материалы прилагаются)
1. Топологические пространства. Подпространства. Внутренность, замыкание, плотные множества. База, предбаза. Непрерывные отображения. Топологические группы. Аксиомы отделимости в топологических пространствах и группах. Проблема существования групповой топологии на группе.
Слайды (самые начальные сведения из общей топологии, по большей части и без того известные большинству слушателей)
Слайды (топологические группы)
2. Фильтры и ультрафильтры. Основное свойство ультрафильтров. Отображения фильтров и ультрафильтров. Сходимость фильтров и ультрафильтров.
3. Компактные топологические пространства. Критерий компактности в терминах ультрафильтров.
4. Топологическое (тихоновское) произведение семейства топологических пространств.
5. Теорема Тихонова о компактности произведения, её равносильность аксиоме выбора.
6. Теорема Тихонова о вложении тихоновского пространства в произведение отрезков. Компактификации.
7. Локально компактные пространства. Минимальная (одноточечная) и максимальная (стоун-чеховская) компактификация тихоновского пространства, их существование.
8. Свободные топологические группы. Существование свободной топологической группы любого тихоновского пространства.
9. Число Суслина, свойство Суслина. Теорема: любая σ-компактная топологическая группа обладает свойством Суслина.
10. Обобщения топологических групп (паратопологические, лево(право)топологические, полутопологические, квазитопологические группы). Теорема Эллиса: группа с компактной топологией, относительно которой умножение раздельно непрерывно, является топологической группой.
11. Полугруппа ультрафильтров. Теорема Эллиса–Нумакуры (любая полугруппа с компактной хаусдорфовой топологией, относительно которой операция непрерывна по одному аргументу, содержит идемпотент). Следствия (например, теорема Шура).
Конспект (пространство ультрафильтров, полугруппа ультрафильтров и теорема Эллиса–Нумакуры)
Конспект (теорема Шура)
12. Категории, морфизмы. Проективный объект категории. Экстремально несвязные пространства (определение). Экстремально несвязные компакты как проективные объекты в категории компактных пространств и непрерывных отображений (без доказательства).
Основные определения, связанные с категориями
Конспект (проективные объекты)
Конспект (экстремальная несвязность)
13. Булевы алгебры, примеры (из топологии). Теорема Стоуна о двойственности. Экстремально несвязные компакты как пространства Стоуна полных булевых алгебр. Понятие функтора.
14. Теорема Фролика: множество неподвижных точек любого автогомеоморфизма экстремально несвязного пространства открыто-замкнуто (без доказательства). Следствия: квадрат недискретного пространства не бывает экстремально несвязным; любая экстремально несвязная группа содержит открытую булеву подгруппу (с доказательством). Проблема существования экстремально несвязных групп.
15. Максимальные топологические пространства, их существование. Совершенно несвязные пространства. Пример однородного максимального пространства.
Конспект (пример)
16. Пространства непрерывных отображений, топология равномерной сходимости на множествах из данного семейства. Примеры. Пространство Cp(X) с топологией поточечной сходимости (определение, канонические окрестности точек). Двойственное отображение, его непрерывность и основные свойства. Отображение сужения.
17. Каноническое отображение вычисления X → CpCp(X). Пространство Lp(X). Доказательство того, что оно сопряжено пространству Cp(X).
18. Теорема Нагаты: топологические кольца Cp(X) и Cp(Y) изоморфны тогда и только тогда, когда X и Y гомеоморфны.
19. Группа гомеоморфизмов с замкнуто-открытой топологией.
20. Группа изометрий с топологией поточечной сходимости. Вложимость всякой топологической группы в группу изометрий (схема доказательства).
Необязательное добавление: одна нерешенная задача