Программа
- Формальная теория (система) гильбертова типа. Язык логики первого порядка. Логические аксиомы, правила вывода. Функциональные символы, предикаты, примеры. Понятие модели. Понятие доказательства. Теорема Генкина о существовании модели. Теоремы Гёделя о полноте и неполноте. Теорема Лёвенгейма–Скулема о существовании счетной модели. Парадокс Скулема. Аксиомы теории множеств ZFC. Равносильность аксиомы выбора теореме Тихонова.
- Упорядоченные множества. Фундирование. Теорема об изоморфизме вполне упорядоченных множеств. Транзитивные множества. Ординалы и порядковые типы. Трансфинитная индукция и рекурсия. Формулировки леммы Цорна и теоремы Цермело. Примеры их применения. Кардиналы и мощности множеств. Арифметика кардиналов. Теорема Кантора. Континуум-гипотеза. Универсум фон Неймана, ранг множества, ∈-индукция.
- Алгебраическая система, ∈-система. Релятивизация формулы к ∈-системе. Модели теории множеств. Стандартные транзитивные модели. Абсолютные формулы. Абсолютность трансфинитной рекурсии. Упражнение: доказать 10 основных свойств арифметических операций над кардиналами (ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, κ+λ = κ · λ = max{κ, λ} для бесконечных κ и λ, κλ · κµ = κλ+µ и пр.).
- Генерические множества, их существование для счетной модели. Имена и интерпретации. Определение генерического расширения модели ZFC как множества интерпретаций. α-Коэновское частично упорядоченное множество. Схема доказательства совместимости отрицания континуум-гипотезы с аксиомами ZFC.
- Вынуждение. Основные положения форсинга: теорема об определимости и теорема об истинности. Аксиомы ZFC в генерическом расширении, примеры проверки их выполнения. Упражнение: проверить выполнение оставшихся не проверенными аксиом.
- Первая теорема о сохранении кардиналов. Формулировка леммы о Δ-системе. Выполнение условия счетности цепей для α-коэновского множества. Полное доказательство совместимости отрицания континуум-гипотезы с аксиомами ZFC. Антикоэновское частично упорядоченное множество. Доказательство совместимости континуум-гипотезы с аксиомами ZFC методом форсинга. Теорема о сохранении функций и ее следствия. Упражнение: доказать лемму о Δ-системе.
- Свойство Суслина. Гипотеза Суслина о существовании линейно упорядоченного несепарабельного топологического пространства со свойством Суслина. Прямая Суслина. Тихоновское произведение топологических пространств. Несохранение свойства Суслина при возведении прямой Суслина в квадрат.
- Аксиома Мартина. Мультипликативность свойства Суслина в предположении аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы. Справедливость гипотезы Суслина в предположении аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы. Некоторые другие топологические следствия аксиомы Мартина.
- Малые кардиналы. Комбинаторные и дальнейшие топологические следствия аксиомы Мартина. Фильтры и ультрафильтры. Ультрафильтры в нестандартном анализе. Теорема Рамсея о раскрасках. Рамсеевские ультрафильтры, их существование в предположении аксиомы Мартина. Теорема Соловея.
- Гипотеза Лузина. Множества строгой меры 0. Гипотеза Бореля, лузинские множества. Свойства коэновского форсинга. Доказательство существования лузинских множеств в предположении отрицания континуум-гипотезы.
- Стационарные множества. Принцип Йенсена, доказательство его совместимости с ZFC. Деревья. Схема доказательства совместимости существования дерева (и прямой) Суслина с ZFC. Несохранение свойства Суслина произведениями топологических пространств в предположении выполнения принципа Йенсена.
- Фильтр замкнутых неограниченных множеств , его свойства (полнота и замкнутость относительно диагональных пересечений). Лемма Фодора. Недостижимые и измеримые кардиналы. Теорема Улама. Существование селективного ультрафильтра на измеримом кардинале.
- Категории. Проективные объекты. Булевы алгебры. Двойственность Стоуна между топологическими пространствами и булевыми алгебрами. Экстремально несвязные пространства как проективные объекты в категории компактов и непрерывных отображений и как пространства Стоуна полных булевых алгебр. Теорема Фролика об автогомеоморфизме экстремально несвязного пространства. Нерешенная проблема существования в ZFC недискретной экстремально несвязной группы. Имеющиеся результаты и подходы к ее решению.
- Итерированный форсинг. Теорема Истона. Булевозначный подход к форсингу.