Объекты изучения топологической алгебры — это топологические пространства, наделённые
алгебраической структурой, согласованной с топологией; другими словами, это универсальные алгебры
(т.е. множества с операциями), наделённые топологией, относительно которой все или некоторые
операции непрерывны или раздельно непрерывны. Уже само существование такой топологии оказывает
неожиданно большое влияние на алгебраические свойства рассматриваемых объектов и наоборот —
существование непрерывных операций очень сильно влияет на топологические свойства. Иллюстрацией
влияния существования топологии на алгебраические свойства служит, например, теорема
Эллиса–Нумакуры, согласно которой всякая полугруппа (универсальная алгебра с одной ассоциативной
бинарной операцией — умножением) с компактной топологией, относительно которой умножение
непрерывно хотя бы по одному аргументу, содержит идемпотент, т.е. элемент e со свойством ee = e.
Влияние наличия алгебраической структуры на топологические свойства можно проиллюстрировать
замечательной теоремой Глисона–Ямабе–Монтгомери–Циппина, которая гласит, что топологическая группа
(т.е. группа с топологией, относительно которой групповые операции непрерывны) является группой Ли
тогда и только тогда, когда она локально компактна и единица в ней обладает окрестностью, не
содержащей нетривиальных подгрупп. Другими словами, из наличия на топологическом пространстве
непрерывных групповых операций, локальной компактности и отсутствия малых подгрупп вытекает, что
каждая точка этого пространства обладает окрестностью, гомеоморфной евклидову пространству, и, более
того, на всём пространстве существует структура гладкого (и даже вещественного аналитического)
многообразия; стоит отметить, что далеко не все локально компактные топологические пространства,
даже являющиеся топологическими многообразиями, обладают этим свойством.

Более или менее систематическое изучение топологических алгебр (универсальных алгебр с топологией,
согласованной с операциями) началось в середине прошлого века с двух работ А.И. Мальцева, в которых он,
в частности, исследовал многообразия топологических алгебр и свободные топологические алгебры, а
также определил мальцевский терм (который называют также операцией Мальцева) — тернарную
операцию, удовлетворяющую двум простым тождествам, которая существует (в качестве производной
операции) во многих классических многообразиях универсальных алгебр и из существования которой
вытекает масса важных следствий как в случае топологических алгебр, так и в случае абстрактных (без
топологии) универсальных алгебр (связанные с этим термом результаты Мальцева произвели настоящую
революцию в теории абстрактных универсальных алгебр). Например, из существования мальцевского
терма в многообразии абстрактных алгебр вытекает перестановочность конгруэнций, а из существования
непрерывного мальцевского терма в многообразии топологических алгебр вытекает открытость всякого
факторного гомоморфизма, а также хаусдорфовость любой топологической алгебры в таком многообразии,
удовлетворяющей самой слабой аксиоме отделимости T0. Мальцев исследовал и другие термы подобного
сорта. Его исследования были продолжены другими математиками, которые получили удивительные
результаты о связи существования в многообразиях топологических алгебр специальных операций и
топологических свойств алгебр из этих многообразий. Эти результаты будут включены в курс.
Несмотря то, что за прошедшие с тех пор годы было получено немало важных результатов, многие
проблемы пока остаются нерешёнными. В частности, до сих пор не найден удовлетворительный
топологический аналог теоремы Биркгофа о том, что класс универсальных алгебр является многообразием
тогда и только тогда, когда он определяется тождествами, хотя в этом направлении имеются
существенные продвижения. Есть и другие важные вопросы, требующие решения. Обсуждение этих
вопросов и путей их решения тоже предполагается включить в курс.
Наиболее изученными топологическими алгебрами являются топологические группы и топологические
векторные пространства. Им предполагается посвятить несколько лекций. Кроме того, предполагается
проиллюстрировать применение топологической алгебры в других областях математики, в частности,
применение свойств полугрупп ультрафильтров с топологией в комбинаторике, динамике и топологии. В
связи с последним примером будут рассмотрены также вопросы, связанные с продолжением непрерывных
или раздельно непрерывных операций алгебр на их компактификации, возможностью вложения
топологических алгебр в компактные топологические алгебры и условиями, при которых из раздельной
непрерывности некоторых операций алгебры вытекает совместная непрерывность этих (а иногда и других)
операций; например, согласно классической теореме Эллиса если на группе имеется локально компактная
топология, относительно которой умножение раздельно непрерывно, то и умножение, и инверсия в этой
группе непрерывны (совместно).

Главная цель курса — привлечь внимание слушателей к теории топологических универсальных алгебр и её
применению в разных областях математики.

Примерный план:

Лекция 1. Универсальные алгебры (множества с операциями). Топологические алгебры, примеры. Гомоморфизмы, конгруэнции, факторалгебры, подалгебры. Тождества. Многообразия алгебр, теорема Биркгофа. Свободные алгебры в данном многообразии.

Лекция 2. Операция Мальцева. Теорема Мальцева: в многообразии алгебр конгруэнции перестановочны тогда и только тогда, когда из операций этого многообразия можно составить операцию Мальцева. Аксиомы отделимости в топологических алгебрах с операцией Мальцева, а также в топологических алгебрах, удовлетворяющих некоторым другим топологическим условиям. Абелевость фундаментальной группы линейно связной топологической алгебры, имеющей бинарную операцию с нейтральным элементом.

Лекция 3. Многообразия топологических алгебр. Свободные топологические алгебры, их структура, существование и некоторые топологические свойства. Компактно порождённые топологические алгебры.

Лекция 4. Теорема Мальцева–Тэйлора: в многообразии топологических алгебр все факторные гомоморфизмы открыты тогда и только тогда, когда в этом многообразии все конгруэнции перестановочны (т.е. из операций многообразия можно составить операцию Мальцева). Проблема непрерывности операций на образах топологических алгебр при факторных гомоморфизмах. Свойства топологического пространства, гарантирующие существование на нём непрерывной операции Мальцева.

Лекция 5. Топологические группы, их основные свойства. Проблема существования недискретной групповой топологии на бесконечной группе. Топологические многообразия и группы Ли. Теорема Глисона–Ямабе–Монтгомери–Циппина: топологическая группа является группой Ли тогда и только тогда, когда она локально компактна и в ней существует окрестность единицы, не содержащая нетривиальных подгрупп (без доказательства).

Лекция 6. Теорема: всякий компакт с непрерывной операцией Мальцева является ретрактом топологической группы. Некоторые её обобщения и следствия.

Лекция 7. Свойство Суслина в компактно порождённых топологических алгебрах с операцией Мальцева.

Лекция 8. Раздельно непрерывные операции. Кросс-топология на произведении топологических пространств. Квазитопологические алгебры (универсальные алгебры с раздельно непрерывными операциями). Многообразия квазитопологических алгебр. Свободные квазитопологические алгебры, их существование, строение их топологии. Аксиомы отделимости в квазитопологических алгебрах. Теорема: образ квазитопологической алгебры при факторном гомоморфизме является квазитопологической алгеброй (т.е. операции на образе раздельно непрерывны).

Лекция 9. Квазитопологические группы и алгебры с операцией Мальцева. Теорема Эллиса: в (локально) компактной группе с топологией, относительно которой умножение раздельно непрерывно, умножение совместно непрерывно и инверсия тоже непрерывна.

Лекция 10. Топологические и квазитопологические магмы, квазигруппы, лупы и полугруппы. Теорема Эллиса–Нумакуры: в любой полугруппе с компактной топологией, относительно которой умножение непрерывно хотя бы по одному аргументу, есть идемпотент и минимальные левые идеалы. Ультрафильтры, их основное свойство.

Лекция 11. Топологическое пространство ультрафильтров на данном множестве. Полугруппа ультрафильтров на данной полугруппе, свойства непрерывности полугрупповой операции, существование идемпотентов и минимальных левых идеалов.

Лекция 12. Примеры применения теоремы о существовании идемпотента и минимальных левых идеалов в полугруппе ультрафильтров в комбинаторике, динамике и топологии.

Лекция 13. Однородные топологические пространства как топологические универсальные алгебры. Проблема Уолтера Рудина о существовании сходящейся последовательности во всяком однородном компакте. Некоторые специальные типы ультрафильтров на счётном множестве, их локальные топологические свойства как точек пространства ультрафильтров, условия существования.

Лекция 14. Топологические векторные пространства как топологические универсальные алгебры. Следствия для выпуклых подмножеств локально выпуклых пространств и их компактификаций (в частности, для пространств вероятностных мер).

Лекция 15. Продолжение непрерывных и раздельно непрерывных операций и тождеств на объемлющие топологические пространства. Предкомпактные топологические алгебры. Топологические свойства топологического пространства, гарантирующие существование непрерывной предкомпактной операции Мальцева на пространстве.

Лекция 16. Нерешённые задачи и перспективные направления исследований в топологической алгебре.