Навигация
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ВНИМАНИЕ
Экзамены можно сдавать после любого экзамена по введению в топологию на первом потоке второго курса в той же аудитории, где был экзамен, в 12:00.
Расписание экзаменов: 08.01 ауд.436, 09.01 ауд.П4, 10.01 ауд.439, 13.01 ауд.439, 24.01 ауд.16-13
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
АНОНС
Основное внимание предполагается уделить фундаментальным понятиям и конструкциям, которые обычно не обсуждаются в базовых курсах топологии, в частности, теоремы, которые нельзя доказать без дополнительных теоретико-множественных предположений, а также использование языка ультрафильтров, который незаменим в некоторых ситуациях. Спецкурс рассчитан на слушателей, знакомых с основами общей топологии и логики, а также с понятиями группы и полугруппы.
Издательство МЦНМО выпустило книгу, в которой есть все нужные для понимания спецкурса сведения по общей топологии. Её можно купить в интернет-магазине издательства:
https://biblio.mccme.ru/node/216439
или в книжной лавке:
https://biblio.mccme.ru/bookstore
Ещё есть в интернет-магазинах URSS и OZON, но дороже (особенно в озоне).
_________________________________________________________________________________________________________________________________
ПРОГРАММА
(общих конспектов по курсу нет, но ссылки на материалы к темам будут регулярно добавляться)
1. Понятие модели теории множеств. Континуум-гипотеза, её независимость от аксиом теории множеств.
Конспект (начальные сведения из логики и теории множеств, по большей части и без того известные большинству слушателей)
2. Число Суслина. Гипотеза Суслина. Прямая Суслина, её существование. Принцип Йенсена. Доказательство того, что квадрат прямой Суслина не обладает свойством Суслина.
3. Топологическое (тихоновское) произведение топологических пространств (определение и его обоснование с точки зрения теории категорий).
Определение и примеры категорий
4. Лемма о Δ-системе.
5. Теорема: если произведение любого конечного числа пространств из данного семейства обладает свойством Суслина, то и произведение всего семейства обладает этим свойством.
6. Аксиома Мартина. Теорема: в предположении справедливости аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы свойство Суслина мультипликативно.
7. Теорема Бэра о категории для компактов и полных метрических пространств.
8. Множества Бернштейна. Доказательство существования 2^ω попарно непересекающихся множеств Бернштейна.
9. Пространство иррациональных чисел, его гомеоморфность счётной степени счётного дискретного пространства, существование полной метрики. Доказательство негомеоморфности счётных степеней пространств рациональных и иррациональных чисел.
10. Топологические размерности ind, Ind и dim. Негомеоморфность евклидовых пространств R^n и R^k для n ≠ k.
11. Максимальные топологические пространства, их существование. Ультранесвязные, совершенно несвязные и экстремально несвязные пространства.
12. Фильтры и ультрафильтры. Существование неглавных ультрафильтров. Почти дискретное пространство (= пространство с единственной неизолированной точкой), порождённое фильтром. Фильтры, для которых такие пространства экстремально несвязны.
Слайды (фильтры и ультрафильтры; "лишние" определения и факты нужны для следующего вопроса)
Слайды (экстремально несвязные пространства)
13. Компакты: определение и свойства. Критерий компактности в терминах сходимости ультрафильтров.
Конспект (см. также слайды к предыдущему вопросу)
14. Счётно компактные и псевдокомпактные пространства, свойства и различающие примеры.
15. Компактификации.
16. Компактность в метрических пространствах.
17. Примеры применения компактификаций.
18. Неуплотняемость и абсолютная замкнутость компактов.
19. Кардинальные инварианты компактов (сетевой вес, псевдохарактер и оценки мощности).
20. Паракомпактные и линделёфовы пространства.