Линейная алгебра и геометрия

Линейная алгебра и геометрия
Программа курса,  версия от 23.03.2026

Лекция 1. Векторные пространства, линейная зависимость
1. Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость и линейные комбинации векто-
ров. Ранг системы векторов. Основная лемма о линейной зависимости.

2. Базис конечномерного пространства. Размерность конечномерного пространства.

Лекция 2. Координаты векторов, изоморфизмы линейных пространств, сумма и пересечение линейных подпространств
3. Координаты векторов. Изоморфизм векторных пространств. Арифметическое векторное пространств.
4. Матрица перехода. Свойства матрицы перехода. Параметрические уравнения подпространства.
5. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма. Формула Грассмана.

Лекция 3. Прямая сумма нескольких подпространств. Сопряженное пространство
6. Прямая сумма нескольких подпространств
7. Сопряжённое пространство. Взаимный базис. Преобразование координат в сопряжённом пространстве.
8. Естественный изоморфизм между V и V ∗∗ .

Лекция 4. Аннулятор и нуль-пространство. Линейные отображения.
9. Аннулятор и нуль-пространство. Функционалы и подпространства.
10. Линейные отображения. Матрица линейного отображения. Преобразование матрицы линейного
отображения при замене базисов.
11. Ядро и образ линейного отображения.

Лекция 5. Операторы. Инвариантные подпространства. Собственные вектора и собственные подпространства. Характеристический многочлен. Диагонализируемые операторы.
12. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Алгебра линейных операторов.
13. Инвариантные подпространства. Разложение оператора в сумму операторов. Разложение опера-
тора с аннулирующим многочленом в прямую сумму.
14. Cобственные векторы. Характеристический многочлен. Собственные подпространства.
15. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Диагонализируемые опера-
торы.

Лекция 6. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный оператор. Существование
жордановой формы для нильпотентный оператора. Характеристический многочлен
нильпотентного оператора.
16. Теорема Гамильтона–Кэли
17. Нильпотентные операторы. Существование жорданова базис для нильпотентного оператора. Ха-
рактеристический многочлен нильпотентного оператора.

Лекция 7. Единственность жордановой формы нильпотентного оператора. Корневые подпространства. Жорданова форма оператора.
18. Единственность жорданова базис для нильпотентного оператора.
19. Разложение оператора в прямую сумму нильпотентного и невырожденного оператора.
20. Корневые векторы и подпространства.
21. Жорданова форма оператора

Лекция 8. Комплексификация и овеществление пространств и линейных отображений. Инвариантные двухмерные подпространства у вещественного оператора.
22. Комплексификация и овеществление пространств и линейных отображений.
23. Инвариантные двухмерные подпространства вещественного оператора.
 

Лекция 9. Билинейные функции
24. Билинейные функции. Корреляции и ядра. Матрица билинейной функции. Невырожденые билинейные функции.
25. Симметричные и кососимметричные билинейные функции. Теорема Лагранжа. Канонический и симплектический базис.

Лекция 10. Квадратичные функции. Полуторалинейные функции. Евклидовы пространства.
26. Квадратичные формы. Поляризация. Метод Лагранжа.
27. Метод Якоби.
28. Квадратичные формы над R и над C. Нормальная форма. Индексы инерции.
29. Положительно определённые билинейные функции. Критерий Сильвестра.
30. Полуторалинейные функции. Эрмитовы полуторалинейные функции. Эрмитовы квадратичные функции.
31. Евклидовы пространства. Ортогональная система координат. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Линейные функции на евклидовом пространстве.

Лекция 11. Евклидовы и унитарные пространства.
32. Ортогональное проектирование. Расстояние от вектора до линейного подпространства. Геометрический смысл определителя.
33. Ортогональные матрицы. QR-разложение. Ортогональные операторы. Изоморфизм евклидовых пространств.
34. Линейные операторы и билинейные формы в евклидовых пространствах. Сопряжённые операторы.

Лекция 12. Ортогональные и самосопряжённые операторы. Эрмитовы пространства.
35. Самосопряжённые операторы. Приведение квадратичной функции к главным осям.
36. Канонический вид ортогонального оператора
37. Положительно и неотрицательно определённые самосопряженные линейные операторы. Полярное разложение оператора над R.
38. Унитарные пространства. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональное проектирование и расстояние в унитарном пространстве. Унитарные матрицы. Изоморфизм унитарных пространств.
39. Линейные операторы в унитарных пространствах. Сопряжённые операторы в унитарном пространстве. Самосопряжённые операторы в унитарном пространстве. Приведение квадратичной функции к главным осям над C.
40. Унитарные операторы. Комплексификация евклидова пространства. Полярное разложение над C.

Лекция 13. Аффинные пространства, I

Лекция 14. Аффинные пространства, II

Расписание коллоквиума

Понедельник, 6 апреля, 3-я пара  --- 101, 102, 104?

Четверг, 9 апреля, 4-я пара ---  104?

Пятница, 10 апреля, 2-я пара --- 103, 105, 106, 107

Форма опроса: теоретический вопрос устно,  задачи письменно, если не успеют принять задачи на коллоквиуму.

В коллоквиуме

1-ый вопрос. Теоретический вопрос из программы (см. программу)

2-ой вопрос. Теоретическая задача (см. список задач)

Будет еще несколько задач.