Линейная алгебра и геометрия

Линейная алгебра и геометрия
Программа курса, 2026, версия от 16.03.2026

Лекция 1. Векторные пространства, линейная зависимость
1. Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость и линейные комбинации векто-
ров. Ранг системы векторов. Основная лемма о линейной зависимости.

2. Базис конечномерного пространства. Размерность конечномерного пространства.

Лекция 2. Координаты векторов, изоморфизмы линейных пространств, сумма и пересечение линейных подпространств
3. Координаты векторов. Изоморфизм векторных пространств. Арифметическое векторное пространств.
4. Матрица перехода. Свойства матрицы перехода. Параметрические уравнения подпространства.
5. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма. Формула Грассмана.

Лекция 3. Прямая сумма нескольких подпространств. Сопряженное пространство
6. Прямая сумма нескольких подпространств
7. Сопряжённое пространство. Взаимный базис. Преобразование координат в сопряжённом пространстве.
8. Естественный изоморфизм между V и V ∗∗ .

Лекция 4. Аннулятор и нуль-пространство. Линейные отображения.
9. Аннулятор и нуль-пространство. Функционалы и подпространства.
10. Линейные отображения. Матрица линейного отображения. Преобразование матрицы линейного
отображения при замене базисов.
11. Ядро и образ линейного отображения.

Лекция 5. Операторы. Инвариантные подпространства. Собственные вектора и собственные подпространства. Характеристический многочлен. Диагонализируемые операторы.
12. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Алгебра линейных операторов.
13. Инвариантные подпространства. Разложение оператора в сумму операторов. Разложение опера-
тора с аннулирующим многочленом в прямую сумму.
14. Cобственные векторы. Характеристический многочлен. Собственные подпространства.
15. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Диагонализируемые опера-
торы.

Лекция 6. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный оператор. Существование
жордановой формы для нильпотентный оператора. Характеристический многочлен
нильпотентного оператора.
16. Теорема Гамильтона–Кэли
17. Нильпотентные операторы. Существование жорданова базис для нильпотентного оператора. Ха-
рактеристический многочлен нильпотентного оператора.

Лекция 7. Единственность жордановой формы нильпотентного оператора. Корневые подпространства. Жорданова форма оператора.
18. Единственность жорданова базис для нильпотентного оператора.
19. Разложение оператора в прямую сумму нильпотентного и невырожденного оператора.
20. Корневые векторы и подпространства.
21. Жорданова форма оператора

Лекция 8. Комплексификация и овеществление пространств и линейных отображений. Инвариантные двухмерные подпространства у вещественного оператора.
22. Комплексификация и овеществление пространств и линейных отображений.
23. Инвариантные двухмерные подпространства вещественного оператора.
 

Лекция 9. Билинейные функции