Навигация
Вторник 16:45, ауд. 14-15
Первая лекция 1 октября в 17:00
Экзамены 17.12 в 16:45 (ауд 14-14), 18.12 в 15:00 (ауд 436), 24.12 в 13:30 и 28.12 в 9:00 строго по записи
Аудитории на 24-е и 28-е пока неизвестны
Записаться на 24-е и 28-е декабря можно здесь
1. Аксиомы теории множеств, кардиналы, ординалы.
2. Топологические пространства. Аксиомы отделимости. Различающие примеры.
3. Топологические (тихоновские) произведения топологических пространств.
4. Компактификации топологических пространств, их сравнение, существование. Минимальные и максимальные компактификации, их существование.
5. Центрированные семейства, фильтры и ультрафильтры (определение). Основное свойство ультрафильтров. Существование ультрафильтра, содержащего данное центрированное семейство. Главные и неглавные ультрафильтры. Отображения ультрафильтров.
6. Сходимость ультрафильтра на топологическом пространстве. Характеризация предельной точки множества в терминах сходимости ультрафильтров. Характеризация непрерывности функции в точке в терминах ультрафильтров. Характеризация компактности в терминах ультрафильтров.
7. Теорема Тихонова о произведении компактных пространств.
8. Топологическое пространство ультрафильтров βX на множестве X, его свойства: множество главных ультрафильтров открыто, дискретно и всюду плотно; множества Ā открыто-замкнуты; равенство Ā ∩ X = A; хаусдорфовость; компактность; существование непрерывного продолжения βX → K любого отображения множества X в любой хаусдорфов компакт K.
9. Продолжение полугрупповой операции с полугруппы S на βS, его непрерывность по первому аргументу и частичная непрерывность по второму аргументу, ассоциативность.
10. Теорема Эллиса–Нумакуры о компактных полугруппах (существование идемпотентов).
11. Теорема Хиндмана.
12. Топологизируемость групп и колец. Теорема Арнаутова (никакая точка бесконечного кольца не является алгебраически изолированной).
13. Теорема компактности для разбиений. Пример применения (конечная версия теоремы Шура). Следствие конечной теоремы Шура (уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ (mod p) разрешимо для любого достаточно большого простого p).
14. P-точки в топологическом пространстве. P-ультрафильтры. Доказательство того, что ультрафильтр на N является P-точкой в βN\N тогда и только тогда, когда это P-ультрафильтр.
15. Максимальные топологические пространства. Доказательство существования, критерий. Экстремально несвязные и неразложимые пространства, связь с проблемой Катетова о существовании точки непрерывности.
16. Паракомпактные, линделёфовы, псевдокомпактные и счётно компактные пространства (определения). Паракомпактность линделёфовых пространств. Номальность паракомпактных пространств.
17. Множества Бернштейна, доказательство существования.
18. Стрелка Зоргенфрея, её свойства (линделёфовость, первая аксиома счётности, неметризуемость, ненормальность квадрата).
19. Пространство Исбелла–Мрувки (пример псевдокомпактного не счётно компактного пространства).
20. Связные топологические пространства, их свойства (связность замыкания, объединения и произведения связных пространств). Веер Кнастера–Куратовского.
21. Пространство счётных ординалов, его свойства (счётная компактность, первая аксиома счётности, нормальность, отсутствие паракомпактности и компактности).
________________________________
Паракомпактные и линделёфовы пространства
Счётно компактные и псевдокомпактные пространства. Пространство Исбелла–Мрувки
Пространство счётных ординалов
Всё об ультрафильтрах и кое-что ещё (например, ответы на вопросы 9–14) можно найти здесь