Среда 10:45‒12:20, ауд. П4 (второй учебный корпус)
Лекция 1
Напоминание: непрерывная функция, метрика, открытое множество на плоскости. Система открытых окрестностей точек множества. Система окрестностей. Определение открытого множества в терминах окрестностей точек. Топология, топологическое пространство. Открытые и замкнутые множества в топологическом пространстве. Окрестности точек в топологическом пространстве. Равносильность определения открытого множества в терминах системы окрестностей и как элемента топологии. Базы и предбазы топологии. Условия, при которых данное семейство подмножеств топологического пространства можно принять за базу (предбазу) некоторой топологии. Топология, порождённая метрикой, база такой топологии. Эквивалентные метрики. Топология, порождённая линейным порядком на множестве. База топологии на плоскости, порождённой лексикографическим порядком.
Лекция 2
Локальная база топологии в данной точке (база окрестностей). Локальная база топологии, порождённой метрикой. Метризуемое пространство. Счётные локальные базы в каждой точке метризуемого пространства. Примеры метризуемых топологических пространств: дискретное пространство, плоскость с топологией, порождённой лексикографическим порядком, ёж произвольной колючести. Подпространство топологического пространства, индуцированная топология. Замкнутые множества в подпространстве. Утверждение: пересечения элементов базы топологии пространства X с подмножеством Y этого пространства образуют базу индуцированной топологии подпространства Y. Ограничение метрики на подмножество метрического пространства. Утверждение: если топология пространства X порождена метрикой d, Y — подмножество множества X и dY — ограничение метрики d на Y, то топология, порождённая на Y метрикой dY, совпадает с индуцированной топологией. Для топологий линейного порядка аналогичное утверждение неверно (топология на подмножестве, порождённая ограничением линейного порядка на это подмножество, не обязательно совпадает с индуцированной топологией). Определение отображения множества X в множество Y как подмножества декартова произведения X и Y. Порядок, линейный порядок, полный порядок.
Лекция 3
Аксиомы теории множеств. Множество натуральных чисел. Ординалы, кардиналы. Мощность множества. Порядковый тип вполне упорядоченного множества. Вес топологического пространства. Характер топологического пространства в точке. Характер топологического пространства. Первая и вторая аксиомы счётности. Пример счётного пространства без первой аксиомы счётности (счётный веер Фреше–Урысона). Континуум-гипотеза.
Лекция 4
Замыкание множества в топологическом пространстве. Оператор замыкания. Внутренность множества. Точки прикосновения, предельные точки и точки накопления множества в топологическом пространстве. Изолированные точки. Всюду плотное множество. Плотность топологического пространства, сепарабельное топологическое пространство. Утверждение: замыкание открытого множества совпадает с замыканием пересечения этого множества с всюду плотным множеством. Теорема: сепарабельное метризуемое пространство обладает счётной базой.
Лекция 5
Свойство Суслина, число Суслина. Теорема: метризуемое пространство со свойством Суслина удовлетворяет второй аксиоме счётности. Последовательности, сходящиеся последовательности. Пределы и предельные точки последовательностей. Пример недискретного пространства без сходящихся последовательностей. Фильтры, ультрафильтры. Главные и неглавные ультрафильтры. Центрированные семейства множеств. Теорема: всякое центрированное семейство подмножеств бесконечного множества содержится в некотором ультрафильтре. Существование неглавных ультрафильтров. Основное свойство ультрафильтров. Сходимость фильтров и ультрафильтров в топологическом пространстве. Характеризация точек накопления в терминах фильтров и ультрафильтров.
Лекция 6
Пример счётного пространства без сходящихся последовательностей. Непрерывность отображения в точке. Непрерывность отображения. Критерии непрерывности и непрерывности в точке (в терминах открытых и замкнутых множеств, баз и предбаз, замыканий и ультрафильтров). Непрерывность композиций, сужений и надотображений непрерывных отображений. Примеры непрерывных отображений. Непрерывность расстояния до фиксированного множества в метрическом пространстве. Сохранение сепарабельности непрерывными отображениями. Несохранение метризуемости, веса и характера непрерывными отображениями. Произведение двух топологических пространств. График отображения.
Лекция 7
Гомеоморфизмы, гомеоморфные пространства. Топологические свойства (топологические инварианты). Примеры топологических свойств. Гомеоморфные вложения. Открытые и замкнутые отображения. Уплотнения (непрерывные биекции). Ретракции и ретракты. Аксиомы отделимости T0–T4. Эквивалентные формулировки, различающие примеры. Хаусдорфовы, регулярные и нормальные пространства. Нормальность всякого метризуемого пространства. Непрерывные отображения в хаусдорфовы пространства: замкнутость графика, замкнутость множества точек совпадения, замкнутость множества неподвижных точек. Совпадение непрерывных отображений в хаусдорфово пространство, совпадающих на всюду плотном множестве.
О.В. Сипачева. Начала общей топологии. М.: МЦНМО, 2024.
Р. Энгелькинг. Общая топология. М.: Мир, 1986.