Введение в топологию

Лекция 1

Напоминание: непрерывная функция, метрика, открытое множество на плоскости. Система открытых окрестностей точек множества. Система окрестностей. Определение открытого множества в терминах окрестностей точек. Топология, топологическое пространство. Открытые и замкнутые множества в топологическом пространстве. Окрестности точек в топологическом пространстве. Равносильность определения открытого множества в терминах системы окрестностей и как элемента топологии. Базы и предбазы топологии. Условия, при которых данное семейство подмножеств топологического пространства можно принять за базу (предбазу) некоторой топологии. Топология, порождённая метрикой, база такой топологии. Эквивалентные метрики. Топология, порождённая линейным порядком на множестве. База топологии на плоскости, порождённой лексикографическим порядком.

Задачи к лекции 1

Лекция 2

Локальная база топологии в данной точке (база окрестностей). Локальная база топологии, порождённой метрикой. Метризуемое пространство. Счётные локальные базы в каждой точке метризуемого пространства. Примеры метризуемых топологических пространств: дискретное пространство, плоскость с топологией, порождённой лексикографическим порядком, ёж произвольной колючести. Подпространство топологического пространства, индуцированная топология. Замкнутые множества в подпространстве. Утверждение: пересечения элементов базы топологии пространства X с подмножеством Y этого пространства образуют базу индуцированной топологии подпространства Y. Ограничение метрики на подмножество метрического пространства. Утверждение: если топология пространства X порождена метрикой d, Y — подмножество множества X и d_Y — ограничение метрики d на Y, то топология, порождённая на Y метрикой d_Y, совпадает с индуцированной топологией. Для топологий линейного порядка аналогичное утверждение неверно (топология на подмножестве, порождённая ограничением линейного порядка на это подмножество, не обязательно совпадает с индуцированной топологией). Определение отображения множества X в множество Y как подмножества декартова произведения X и Y. Порядок, линейный порядок, полный порядок.

Задачи к лекции 2

Лекция 3

Аксиомы теории множеств. Множество натуральных чисел. Ординалы, кардиналы. Мощность множества. Порядковый тип вполне упорядоченного множества. Вес топологического пространства. Характер топологического пространства в точке. Характер топологического пространства. Первая и вторая аксиомы счётности. Пример счётного пространства без первой аксиомы счётности (счётный веер Фреше–Урысона). Континуум-гипотеза.

Задачи к лекции 3

Лекция 4

Замыкание множества в топологическом пространстве. Оператор замыкания. Внутренность множества. Точки прикосновения, предельные точки и точки накопления множества в топологическом пространстве. Изолированные точки. Всюду плотное множество. Плотность топологического пространства, сепарабельное топологическое пространство. Утверждение: замыкание открытого множества совпадает с замыканием пересечения этого множества с всюду плотным множеством. Теорема: сепарабельное метризуемое пространство обладает счётной базой.

Задачи к лекции 4

О.В. Сипачева. Начала общей топологии. М.: МЦНМО, 2024.

Р. Энгелькинг. Общая топология. М.: Мир, 1986.