1. Фильтр, база фильтра. Ультрафильтр. Главные и неглавные ультрафильтры. Существование неглавных ультрафильтров.
2. Теорема: любое центрированное семейство подмножеств любого множества содержится в ультрафильтре. Основное свойство ультрафильтров. Отображения фильтров и ультрафильтров.
3. Топологическое пространрство. Окрестности, замыкания, плотные множества. Сходимость фильтров. Характеризация точек прикосновения в терминах сходимости фильтров и ультрафильтров. Непрерывность отображений. Характеризация непрерывности в терминах сходимости ультрафильтров.
4. Компактные пространства. База топологии. Хаусдорфовы пространства, подпространства. Компактность и замкнутость в хаусдорфовых пространствах. Регулярность хаусдорфовых компактных пространств. Характеризация компактности в терминах сходимости ультрафильтров.
5. Топологическое пространство ультрафильтров, восемь его свойств.
6. Полугруппа ультрафильтров.
7. Две теоремы о компактных полугруппах.
8. Теорема Хиндмана. Следствие: теорема Шура.
9. Топологические группы: определение, примеры, специфические свойства. Топологические кольца. Алгебраически изолированные точки.
10. Теорема Арнаутова.
11. Теорема ван дер Вардена.
12. Топологическое (тихоновское) произведение. Теорема Тихонова о компактности произведений.
13. Теорема компактности для разбиений. Конечные версии комбинаторных теорем (на примере теоремы Шура).
14. Объединение множества минимальных идеалов в полугруппе, его связь с правыми идеалами. 
15. Естественный порядок на множестве идемпотентов полугруппы. Теорема: для любого идемпотента e в компактной полугруппе S каждый минимальный идеал в  S·e содержит идемпотент, не превосходящий e. Теорема о минимальных идемпотентах.
16. Толстые множества в группах. Теорема о толстых множествах. Критерий толстоты в полугруппе N.
17. Синдетические множества в полугруппах. Теорема двойственности. Теорема о синдетических множествах. Критерий синдетичности в полугруппе N.
18. Кусочно синдетические множества. Теорема о кусочно синдетических множествах.
19. Действие полугруппы на множестве. Динамическая система. Подсистемы, орбиты, транзитивные системы, минимальные системы.  Теорема о минимальных подсистемах.
20. Множество времён возврата. Теорема о синдетических множествах возврата (без доказательства).
21. Рекуррентные точки. Теорема: x рекуррентна тогда и только тогда, когда p·x = x для некоторого ультрафильтра p, отличного от 1.
22. Топологическое пространство N*. Его мощность. Отсутствие в нём сходящихся последовательностей.
23. P-точки. Вывод неоднородности N* из существования P-точки в N*.
24. Критерий того, что неглавный ультрафильтр является P-точкой.
25. Четыре типа неглавных ультрафильтров на N: определение в терминах разбиений и в терминах отображений. Определение порядка Рудин–Кейслера. Определение эквивалентности ультрафильтров. Существование несравнимых ультрафильтров. Теорема о том, что всякий ультрафильтр, не превосходящий некоторого P-ультрафильтра в смысле порядка Рудин–Кейслера, тоже является P-ультрафильтром, и что всякий селективный ультрафильтр минимален. Определение порядка Рудин–Бласса. Теорема о том, что всякий ультрафильтр, не превосходящий некоторого быстрого ультрафильтра в смысле порядка Рудин–Бласса, тоже является быстрым, и что всякий Q-ультрафильтр минимален.
26. Рамсеевские ультрафильтры. Равносильности рамсеевости селективности. Существование рамсеевских ультрафильтров в предположении справедливости континуум-гипотезы.
27. Быстрые ультрафильтры, их характеризации.
28. Тензорное произведение ультрафильтров. Теорема: тензорное произведение любого ультрафильтра на N и быстрого ультрафильтра является быстрым. Следствие: множество быстрых ультрафильтров — левый идеал. Существование быстрого идемпотента.  Доказательство того, что тензорные произведения и идемпотенты не бывают Q- и P-ультрафильтрами. 

 
Расширенные материалы лекций (обновлены 18 июня)

Понятие ультрафильтра не входит в программы базовых курсов для студентов мехмата, однако они играют важную роль в самых разных областях математики. Многие фундаментальные понятия, включая непрерывность и компактность, очень просто определяются на языке ультрафильтров, и зачастую этот язык оказывается наиболее естественным и удобным. Например, самая цитируемая в математике теорема — теорема Тихонова о произведении компактов — имеет простое и изящное доказательство в терминах ультрафильтров (тогда как стандартное доказательство громоздко и трудно для понимания), а наиболее популярная и удобная модель нестандартного анализа основана на понятии ультрафильтрованного произведения. Это понятие играет основополагающую роль и в теории многообразий групп.
       На множестве всех ультрафильтров на произвольном множестве X имеется естественная топология. Пространство βX ультрафильтров с этой топологией компактно; более того, оно является максимальной компактификацией множества X, рассматриваемого как дискретное топологическое пространство. В случае, когда X — полугруппа (например, множество натуральных чисел), это обстоятельство позволяет продолжить полугрупповую операцию до непрерывной по первому аргументу ассоциативной операции на βX. Тем самым βX превращается в компактную правотопологическую полугруппу, а во всякой такой полугруппе имеются идемпотенты, минимальные левые идеалы и т.п. Ультрафильтры-идемпотенты (а также ультрафильтры из минимальных идеалов) обладают уникальными комбинаторными свойствами, которые позволяют с лёгкостью доказывать важнейшие теоремы теории раскрасок (такие как теорема ван дер Вардена об арифметических и геометрических прогрессиях, теорема Шура об одноцветных решениях уравнения x+y=z и теорема Хиндмана о множествах конечных произведений без повторений в группах), доказать которые без применения ультрафильтров либо очень трудно, либо вообще не удаётся.
        В 1990-х годах была обнаружена простая и естественная тесная связь между ультрафильтрами и множествами возврата в динамических системах, которая дала новый импульс развитию топологических динамических систем.
        В курсе будут подробно рассмотрены все перечисленные темы. Предполагается начать «с нуля», но при этом полностью со всеми деталями изложить доказательства всех упомянутых (и многих других) утверждений. Это вполне осуществимо, поскольку ультрафильтры — это действительно чрезвычайно мощный инструмент, который связывает очень разные области математики и позволяет радикально упростить многие конструкции. Часть спецкурса будет посвящена открытым проблемам, решением которых занимается автор в настоящее время. Никакой предварительной подготовки от слушателей не требуется.