механико-математический факультет, МГУ имени М.В.Ломоносова
Навигация
Лектор
А.Н. Якивчик
Аналитическая геометрия
Время проведения:
осенний семестр,
2020-2021
Расписание
вторник - 11:00-12:35, аудитория 02
четверг - 13:45-15:20, аудитория 16-10
Аудитория курса:
1-ый курс, 2-ой поток
Программа
Программа курса
- Определение вектора. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства.
- Линейная зависимость векторов. Её геометрический смысл.
- Векторы на прямой. Ось. Алгебраическое значение вектора. Лемма Шаля.
- Базисы и координаты векторов. Линейные отображения и линейные функции. Проекции векторов.
- Переход от одного базиса к другому. Преобразование координат векторов.
- Аффинная система координат. Переход к новой аффинной системе координат.
- Деление отрезка в данном отношении. Центр масс. Барицентрические координаты.
- Скалярное произведение векторов и его свойства. Неравенство Коши–Буняковского.
- Скалярное произведение в координатах. Метрические коэффициенты базиса.
- Ортонормированный базис. Прямоугольная система координат. Длина вектора. Направляющие косинусы.
- Преобразование прямоугольных координат. Ортогональные матрицы.
- Ориентация прямой, плоскости, пространства.
- Ориентированная площадь параллелограмма и её свойства. Выражение ориентированной площади в координатах.
- Угол от вектора до вектора на ориентированной плоскости. Поворот. Ортогональные матрицы 2-го порядка.
- Полярная система координат на плоскости. Связь с декартовыми (прямоугольными) координатами.
- Ориентированный объём параллелепипеда и его свойства.
- Векторное и смешанное произведение, их свойства.
- Векторное и смешанное произведение в прямоугольных координатах.
- Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Связь с прямоугольными координатами.
- Векторные уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости.
- Расстояние между параллельными прямыми, параллельными плоскостями, скрещивающимися прямыми.
- Уравнения прямой на плоскости. Линии первого порядка. Полуплоскости.
- Взаимное расположение трёх прямых. Пучок прямых.
- Уравнения плоскости. Поверхности первого порядка. Полупространства.
- Взаимное расположение двух плоскостей. Прямая как линия пересечения двух плоскостей, её направляющий вектор.
- Взаимное расположение трёх плоскостей. Пучок плоскостей.
- Прямая на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.
- Плоскость в пространстве с прямоугольной системой координат, её нормальное уравнение. Расстояние от точки до плоскости, между параллельными плоскостями.
- Угол между прямыми. Угол от прямой до прямой на ориентированной плоскости.
- Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.
- Линии второго порядка, их матрицы. Преобразование уравнения линии при переходе к новой системе координат.
- Ортогональные инварианты линий второго порядка.
- Преобразование уравнения линии при повороте осей координат. Семиинвариант.
- Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
- Определение канонического уравнения линии второго порядка по ортогональным инвариантам.
- Директориальное свойство, эллипса, гиперболы и параболы.
- Фокальное свойство эллипса и гиперболы.
- Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах. Фокальный параметр.
- Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления.
- Центры линий второго порядка. Диаметры.
- Асимптоты линий второго порядка. Уравнение гиперболы в асимптотах.
- Сопряжённые направления и сопряжённые диаметры. Особое направление.
- Касательные к линиям второго порядка.
- Главные направления и главные диаметры линий второго порядка.
- Теорема единственности для линий второго порядка.
- Определение и свойства аффинных преобразований.
- Аналитическая запись аффинных преобразований.
- Изометрические преобразования (движения).
- Классификация движений плоскости.
- Аффинная классификация линий второго порядка.
- Поверхности второго порядка, их матрицы. Характеристический многочлен.
- Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
- Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Прямолинейные образующие.
- Плоские сечения поверхностей второго порядка. Конические сечения.
- Центры поверхностей второго порядка. Диаметральная плоскость. Диаметр.
- Сопряжённые направления. Особое направление. Цилиндрические поверхности.
- Плоские сечения и прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
- Плоские сечения и прямолинейные образующие гиперболического параболоида.
- Проективная плоскость. Связка и пополненная плоскость.
- Однородные координаты. Арифметическая модель проективной плоскости.
- Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
- Проективные системы координат. Проективные преобразования.
- Линии второго порядка в однородных координатах. Проективная классификация линий второго порядка.
- Проективно-аффинные преобразования. Проективно-аффинная классификация линий второго порядка.