Лектор
О.Д. Фролкина
Геометрическое введение в топологию
Время проведения:
осенний и весенний семестр, 2017-2018, 2019-2020
Аудитория курса: студенты II-III курс
Вид курса: выбор студента
Программа
  1. Канторово совершенное множество, его основные свойства. Гомеоморфизм между канторовым множеством и его квадратом. Непрерывные сюръекции канторова множества на отрезок и на квадрат. Топологическая однородность.
  2. Примеры неметризуемых пространств. Роль 1 аксиомы счетности. Замыкание и секвенциальное замыкание.
  3. Компактность, счетная компактность, секвенциальная компактность в евклидовом пространстве, в гильбертовом пространстве, в общих метрических и топологических пространствах.
  4. Описание пространств, гомеоморфных канторову множеству; описание непрерывных образов канторова множества. Применения.
  5. Кривые Пеано и Гильберта. Постановка и роль вопроса: что такое линия. Примеры нигде не дифференцируемых функций. Пространство непрерывных функций С[0;1]. Теорема Вейерштрасса.
  6. Теорема Бэра и ее применения.
  7. Поточечная и равномерная сходимость последовательности функций. Функции 1 класса Бэра, тип множеств их точек разрыва. Пример функции 2 класса Бэра.
  8. Сумма топологических пространств. Пример двух таких негомеоморфных пространств A,B, что A+A гомеоморфно B+B.
  9. Топология на произведении конечного количества топологических пространств. Пример: в топологических произведениях сокращение одинаковых сомножителей незаконно.
  10. Произведение бесконечного количества топологических пространств. Связь с аксиомой выбора. Ящичная топология, ее недостатки. Топология Тихонова.
  11. Неметризуемость пространства (всех) функций [0;1]\to [0;1], снабженного топологией поточечной сходимости. Пространство непрерывных функций [0;1]\to [0;1] с топологией поточечной сходимости.
  12. Гильбертов куб. Основные свойства. Псевдограница, псевдовнутренность. Пример негомеоморфных топологических пространств, квадраты которых гомеоморфны.
  13. Сходящиеся последовательности гомеоморфизмов. Достаточные условия того, чтобы предельное отображение было гомеоморфизмом. Топологическая однородность гильбертова куба.
  14. Построения сферы Александера, вариации. Фундаментальная группа внешней области.
  15. Соленоид ван Данцига, топологическая однородность. Понятие топологической группы.
  16. Псевдодуга.
  17. Постановка и обсуждение открытых проблем геометрической топологии.