Сокращённая версия русскоязычного курса «Топологическая алгебра».

Примерная программа:

1. Универсальная алгебра (множество с операциями). Гомоморфизмы и изоморфизмы универсальных алгебр, факторалгебры, подалгебры. Тождества. Многообразия алгебр,
теорема Биркгофа. Свободные алгебры в данном многообразии. Топологические алгебры. Многообразия топологических алгебр, свободные топологические алгебры.

2. Операция Мальцева. Теорема Мальцева: в многообразии алгебр все конгруэнции перестановочны тогда и только тогда, когда из операций этого многообразия можно составить операцию Мальцева. Топологические свойства топологических алгебр с операцией Мальцева (в частности, их хаусдорфовость). Другие алгебраические условия, гарантирующие хаусдорфовость или регулярность всех T0 топологических алгебр в данном многообразии.

3. Теорема Мальцева–Тэйлора: в многообразии топологических алгебр все факторные гомоморфизмы открыты тогда и только тогда, когда из операций этого многообразия можно составить операцию Мальцева. Проблема о непрерывности операций на образах топологических алгебр при факторных гомоморфизмах. Свойства топологического пространства, гарантирующие существование непрерывной операции Мальцева на пространстве.

4. Топологические группы, их основные свойства. Проблема существования недискретной групповой топологии на бесконечной группе. Группы Ли, теорема Глисона–Ямабе–Монтгомери–Циппина (топологическая группа является группой Ли тогда и только тогда, когда она локальна компактна и в ней существует окрестность единицы, не содержащая нетривиальных подгрупп). Теорема: всякое компактное топологическое пространство, допускающее непрерывную операцию Мальцева (в частности, топологическая алгебра с операцией Мальцева) является ретрактом топологической группы.

5. Теорема Эллиса–Нумакуры: в любой полугруппе с хаусдорфовой компактной топологией, относительно которой умножение непрерывно хотя бы по одному аргументу, есть идемпотент и минимальные левые идеалы. Полугруппа ультрафильтров. Применение теоремы о существовании идемпотента и минимальных левых идеалов в полугруппе ультрафильтров в комбинаторике, динамике и топологии.

6. Топологические векторные пространства как топологические универсальные алгебры с непрерывной сигнатурой. Следствия для выпуклых подмножеств локально выпуклых пространств и их компактификаций. Абелевость фундаментальной группы линейно связной топологической алгебры, имеющей бинарную операцию с нейтральным элементом.
Нерешённые задачи и перспективные направления исследований в топологической алгебре.