Это продолжение годового спецкурса "Общая топология и топологическая алгебра". Упор будет сделан на применения ультрафильтров в топологической алгебре, как правило очень неожиданные и изящные. Начинать ходить можно со второго семестра. Для тех, кому нужен полугодовой спецкурс, создан полугодовой клон "Ультрафильтры в топологической алгебре".

 
Полезные материалы можно найти здесь (определение и свойства топологических групп) и здесь (всё про ультрафильтры).
 

Вопросы к годовому экзамену

1. Фильтры и ультрафильтры: определение, основное свойство ультрафильтров, существование неглавных ультрафильтров, отображения фильтров и ультрафильтров.

2. Характеризация замыкания множества в терминах сходимости ультрафильтров.

3. Характеризация непрерывности отображений в терминах сходимости ультрафильтров.

4. Характеризация компактности в терминах сходимости ультрафильтров.

5. Топологическое пространство ультрафильтров βX, его свойства.

6. Полугруппа ультрафильтров βS для полугруппы S. Непрерывность и ассоциативность операции.

7. Теоремы о существовании идемпотентов и минимальных левых идеалов в компактных полугруппах.

8. Теорема Хиндмана.

9. Топологизируемость групп и универсальных алгебр. Теорема Арнаутова.

10. Теорема ван дер Вардена.

11. Топологическое произведение. Теорема Тихонова о компактности произведения компактов.

12. Теорема компактности для разбиений.

13. Конечная версия теоремы Шура и её следствие.

14. Максимальные и экстремально несвязные пространства.

15. Теорема Малыхина о булевых подгруппах экстремально несвязных групп.

16. P-точки в пространстве неглавных ультрафильтров на N.

17. P-ультрафильтры, селективные ультрафильтры, Q-ультрафильтры и быстрые ультрафильтры.

18. Существование селективных (рамсеевских) ультрафильтров в предположении справедливости континуум-гипотезы.

19. Фильтр замкнутых неограниченных множеств на несчётном множестве, его свойства.

20. Существование Q-фильтров на несчётных множествах.

21. Тензорное произведение ультрафильтров. Полугруппа быстрых ультрафильтров. Существование быстрых идемпотентов, несуществование идемпотентов, являющихся P- или Q-ультафильтрами.