1. Definition and examples of topological groups. Their homogeneity, the T0–T3 separation axioms. 
2. Seminorms on groups. Theorem: all topological groups satisfy the T31/2 separation axiom (scheme of proof). The metrizability of first countable Hausdorff topological groups (scheme of proof). 
3. Topologizability of infinite groups. Examples of non-topologizable groups. 
4. Criterion for a topology on a group to be a group topology. The base of a group topology consisting of shifts of neighborhoods of 1. A criterion for a family of subsets of a group to be a base of neighborhoods of 1 for a group topology. 
5. Intersections of sets of the form A·U, U·A, and U, where A is a given subset of a group and U ranges over the set of all neighborhoods of 1.
6. Statements: The product of any subset of a topological group and an open set is open; the product of the closures of two subsets is contained in the closure of their product; the product of a closed subset and a compact subset is closed; the product of two connected subsets is connected.
7. Subgroups of topological groups. Statements: The closure of a subgroup — is a subgroup; a subgroup with nonempty interior is open; the connected component of 1 is a closed normal subgroup.
8. A linear group topology. Van Dantzig's theorem: if a topological group is locally compact and totally disconnected, then its topology is Hausdorff and is linear. Theorem: in a compact topological group, the neighborhoods of 1 invariant under conjugation form a base of neighborhoods of 1. Corollary for compact totally disconnected groups.
9. Direct (Cartesian) products and direct sums of topological groups.
10. Homomorphisms of topological groups. Statement: Any quotient homomorphism is open. Topological quotients of topological groups, their Hausdorffness. The quotient by the intersection of all neighborhoods of 1.
11. The quotient of a topological group by the connected component of 1. Profinite topology, its relationship to residual finiteness.
12. Free topological groups, their definition and existence.
13. Graev's extension of continuous pseudometrics (without proof). The proof that the free topological group of a completely regular space is algebraically free.
14. Theorem: Any finite power of a completely regular space X is embedded in F(X) as a closed subspace.
15. Theorem: Any  σ-compact topological group has the Souslin property. Proof in the simplest case (for a free group and a family of open subsets containing one-letter words).
16. Generalizations of topological groups. The Ellis–Numakura theorem on the existence of an idempotent in a compact semigroup.
17. Ellis' theorem: Any compact semitopological group is a topological group.
18. Universal algebras. Congruences and homomorpshims, quotient algebras. Varieties of universal argebras, Birkhoff's theorem (without proof). Free algebras. A Mal'tsev operation. Mal'tsev's theorem: congruences in all algebras in a variety are permutable if and only if there exists a derived Mal'tsev operation in the variety.
19. Topological universal algebras. Free topological universal algebras. Theorem: All quotient homomorphism of topologial algebras in a variety are open if and only if all congruences in algebras of this variety are permutable. Theorem: Any T0-algebra in a variety of topological algebras with permutable congruences is Hausdorff.

 
Здесь есть слайды с похожими лекциями, но на русском языке.

 
Literature can be found here.
 

The content of the lectures is more or less covered by Sections 4.1—4.9, 4.21 (a)—(c), 5.1—5.6, 5.15—5.17, 5.26, 5.36, 6.1, 6.2, 7.1—7.3, 7.5, and 7.6 of the book by Hewitt and Ross; by Theorems 2.2 (without proof)—2.5 of Tkachenko's "Introduction to Topological Groups"; Sections 2.2.1, 2.3.12, 7.1.1, 7.1.2, 7.1.5, 7.1.13, and 7.2.2 of Arhangel'skii and Tkachenko's book; Corollary 2 and all related results of Tkachenko's 1983 paper; Theorem 4 on p. 172 of Gratzer's book; and Theorem 2.1 of Taylor's 1974 paper. About profinite and residually finite groups, ask Google.

Анонс

Введение в теорию топологических групп на английском языке

Топологической группой называется группа с топологией, относительно которой обе групповые операции (умножение и взятие обратного) непрерывны (такая топология называется групповой). Групповая и топологическая структуры оказывают друг на друга сильное влияние. Уже проблема существования недискретной хаусдорфовой групповой топологии на произвольной бесконечной группе оказывается весьма нетривиальной. Все группы топологически однородны (системы окрестностей всех точек устроены одинаково), поскольку умножение на любой фиксированный элемент — гомеоморфизм. Хорошо известно, что если в топологической группе единица обладает счётной базой окрестностей, то топология этой группы порождается некоторой «хорошей» (инвариантной) метрикой. Имеются и другие примеры сильного влияния наличия групповой структуры, согласованной с топологией, на топологические свойства. В свою очередь, алгебраические свойства зависят от наличия согласованной с операциями топологии. Например, в любой компактной полугруппе, операция которой непрерывна хотя бы по одному аргументу, имеется идемпотент, т.е. элемент, равный своему квадрату.

Всё это будет обсуждаться на спецкурсе. Часть курса будет посвящена группам и полугруппам с топологиями, относительно которых операции непрерывны лишь в некотором слабом смысле (например, в полутопологических группах умножение раздельно непрерывно, а взятие обратного вообще не предполагается непрерывным). В частности, будет доказано, что любая локально компактная полутопологическая группа является топологической группой. Будут также рассмотрены свободные топологические группы и топологические векторные пространства.