Вопросы к экзамену ниже

АНОНС

Общая, или теоретико-множественная, топология лежит в основе всех прочих разделов топологии и занимается изучением абстрактных топологических пространств (т.е. множеств, снабжённых самой общей структурой, позволяющей определить понятия предельной точки и непрерывности) — объектах неизмеримо более разнообразных и удивительных, чем, скажем, многообразия. Объекты изучения топологической алгебры — это топологические пространства, наделённые алгебраической структурой, согласованной с топологией; другими словами, это универсальные алгебры, т.е. множества с операциями (в первую очередь, группы), наделённые топологией, относительно которой эти операции непрерывны. Уже само существование такой топологии оказывает неожиданно большое влияние на алгебраические свойства рассматриваемых объектов и наоборот — топологические свойства очень сильно зависят от наличия непрерывных операций.

В курсе будет рассказано о наиболее фундаментальных и любопытных понятиях, конструкциях и фактах общей топологии, которые обычно остаются за рамками базовых курсов (в частности, о кардинальных инвариантах, гиперпространствах, топологических размерностях, а также о нестандартных вещах, связанных с топологическими произведениями и компактификациями). Параллельно будет излагаться теория топологических групп и более общих тополого-алгебраических систем: при обсуждении каждого общетопологического свойства, конструкции и т.п. большое внимание будет уделяться его связи с наличием непрерывных операций, в первую очередь групповых. Некоторое внимание предполагается уделить топологическим пространствам отображений, в частности, топологическим векторным пространствам и кольцам непрерывных функций.

Для полного понимания материала никаких предварительных знаний не требуется, однако знакомство с самыми начальными сведениями из математического анализа, а также понятиями группы и открытого множества, может помочь.

Издательство МЦНМО выпустило книгу, в которой почти целиком содержится общетопологическая часть спецкурса. Её можно купить в интернет-магазине издательства:

https://biblio.mccme.ru/node/216439

или в книжной лавке:

https://biblio.mccme.ru/bookstore

Ещё есть в интернет-магазинах URSS и OZON, но дороже (особенно в озоне).

_________________________________________________________________________________________________________________________________

Вопросы к годовому экзамену

1. Топологические пространства. Подпространства. Внутренность, замыкание, плотные множества. База, предбаза. Непрерывные отображения. Топологические группы. Аксиомы отделимости в топологических пространствах и группах. Проблема существования групповой топологии на группе.

2. Фильтры и ультрафильтры, существование неглавных ультрафильтров. Основное свойство ультрафильтров. Отображения фильтров и ультрафильтров. Сходимость фильтров и ультрафильтров.

3. Характеризация замыкания множества в терминах сходимости ультрафильтров. Характеризация непрерывности отображений в терминах сходимости ультрафильтров.

4. Компактные топологические пространства. Критерий компактности в терминах ультрафильтров.

5. Топологическое (тихоновское) произведение семейства топологических пространств.

6. Теорема Тихонова о компактности произведения, её равносильность аксиоме выбора.

7. Теорема Тихонова о вложении тихоновского пространства в произведение отрезков. Компактификации.

8. Локально компактные пространства. Минимальная (одноточечная) и максимальная (стоун-чеховская) компактификация тихоновского пространства, их существование.

9. Свободные топологические группы. Существование свободной топологической группы любого тихоновского пространства.

10. Число Суслина, свойство Суслина. Теорема: любая σ-компактная топологическая группа обладает свойством Суслина.

11. Обобщения топологических групп (паратопологические, лево(право)топологические, полутопологические, квазитопологические группы). Теорема Эллиса: группа с компактной топологией, относительно которой умножение раздельно непрерывно, является топологической группой.

12. Категории, морфизмы. Проективный объект категории. Экстремально несвязные пространства (определение). Экстремально несвязные компакты как проективные объекты в категории компактных пространств и непрерывных отображений (без доказательства).

13. Булевы алгебры, примеры (из топологии). Теорема Стоуна о двойственности. Экстремально несвязные компакты как пространства Стоуна полных булевых алгебр. Понятие функтора.

14. Теорема Фролика: множество неподвижных точек любого автогомеоморфизма экстремально несвязного пространства открыто-замкнуто (без доказательства). Следствия: квадрат недискретного пространства не бывает экстремально несвязным; любая экстремально несвязная группа содержит открытую булеву подгруппу (с доказательством). Проблема существования экстремально несвязных групп.

15. Максимальные топологические пространства, их существование. Совершенно несвязные пространства. Пример однородного максимального пространства.

16. Пространства непрерывных отображений, топология равномерной сходимости на множествах из данного семейства. Примеры. Пространство Cp(X) с топологией поточечной сходимости (определение, канонические окрестности точек). Двойственное отображение, его непрерывность и основные свойства. Отображение сужения.

17. Каноническое отображение вычисления X → CpCp(X). Пространство Lp(X). Доказательство того, что оно сопряжено пространству Cp(X).

18. Теорема Нагаты: топологические кольца Cp(X) и Cp(Y) изоморфны тогда и только тогда, когда X и Y гомеоморфны.

19. Группа гомеоморфизмов с замкнуто-открытой топологией.

20. Группа изометрий с топологией поточечной сходимости. Вложимость всякой топологической группы в группу изометрий (схема доказательства).

21. Топологическое пространство ультрафильтров βX, его свойства.

22. Полугруппа ультрафильтров βS для полугруппы S. Непрерывность и ассоциативность операции.

23. Теоремы о существовании идемпотентов и минимальных левых идеалов в компактных полугруппах.

24. Теорема Хиндмана.

25. Топологизируемость групп и универсальных алгебр. Теорема Арнаутова.

26. Теорема ван дер Вардена.

27. Теорема компактности для разбиений.

28. Конечная версия теоремы Шура и её следствие.

29. P-точки в пространстве неглавных ультрафильтров на N.

30. P-ультрафильтры, селективные ультрафильтры, Q-ультрафильтры и быстрые ультрафильтры.

31. Существование селективных (рамсеевских) ультрафильтров в предположении справедливости континуум-гипотезы.

32. Фильтр замкнутых неограниченных множеств на несчётном множестве, его свойства.

33. Существование Q-фильтров на несчётных множествах.

34. Тензорное произведение ультрафильтров. Полугруппа быстрых ультрафильтров. Существование быстрых идемпотентов, несуществование идемпотентов, являющихся P- или Q-ультрафильтрами.