1. Определение и примеры топологических групп. Их однородность, аксиомы отделимости T0–T3. 
2. Полунормы на группах. Важная лемма (без доказательства). Аксиома отделимости T31/2. Метризуемость отделимой топологической группы с первой аксиомой счётности. 
3. Топологизируемость бесконечных групп. Примеры нетопологизируемых групп. 
4. Критерий того, что топология на группе является групповой. База топологии топологической группы, состоящая из сдвигов окрестностей единицы. Критерий того, что семейство подмножеств группы является базой окрестностей единицы некоторой групповой топологии на этой группе. 
5. Пересечения множеств вида A·U, U·A и U, где A — фиксированное подмножество группы и U пробегает множество всех окрестностей единицы.
6. Утверждения: произведение произвольного подмножества топологической группы и открытого множества открыто; произведение замыканий подмножеств содержится в замыкании их произведения; произведение замкнутого и компактного подмножеств замкнуто; произведение связных подмножеств связно.
7. Подгруппы топологических групп. Утверждения: замыкание подгруппы — подгруппа; подгруппа с непустой внутренностью открыта; связная компонента единицы — замкнутая нормальная подгруппа.
8. Линейная топология на группе. Теорема ван Данцига: если топологическая группа локально компактна и вполне несвязна, то её топология отделима и линейна. Теорема: в компактной топологической группе окрестности единицы, инвариантные относительно сопряжений, составляют базу окрестностей единицы. Следствие о компактной вполне несвязной группе.
9. Прямое (декартово) произведение и прямая сумма топологических групп.
10. Гомоморфизмы топологических групп. Утверждение: всякий факторный гомоморфизм открыт. Топологические факторгруппы топологических групп, их отделимость. Факторгруппа по пересечению окрестностей единицы.
11. Факторгруппа по компоненте связности единицы. Проконечная топология, её связь с финитной аппроксимируемостью.
12. Свободная топологическая группа: определение, существование.
13. Граевское продолжение псевдометрик (без доказательства). Доказательство того, что свободная топологическая группа алгебраически свободна.
14. Теорема Граева: свободная топологическая группа компактов является индуктивным пределом своих подпространств, самая общая схема её доказательства. Теорема: любая конечная степень тихоновского пространства X вкладывается в F(X) в качестве замкнутого подпространства.
15. Теорема Ткаченко: σ-компактная топологическая группа обладает свойством Суслина, самая общая схема её доказательства.
16. Обобщения топологических групп. Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента в компактной полугруппе.
17. Теорема Эллиса о том, что локально компактная полутопологическая группа является топологической группой: формулировки лемм (лемма о непрерывности обратного в компактной паратопологической группе с доказательством), вывод теоремы из них.
18. Равномерные пространства, топология, порождённая равномерностью. Полное равномерное пространство. Замкнутость полного равномерного пространства в объемлющем полном равномерном пространстве.
19. Фильтр, его база. Фильтр Коши. Два критерия полноты в терминах фильтра Коши. 
20. Направленности, их сходимость. Направленности Коши. Критерий полноты в терминах направленностей Коши.
21. Равномерности на топологических группах. Группы, полные по Райкову. B-направленности Коши. Пополнение топологической группы по Райкову (описание конструкции без доказательства). Замкнутость полной топологической группы в любой объемлющей топологической группе.
22. Пространство непрерывных функций на топологическом пространстве с топологией поточечной сходимости: стандартная база топологии, каноническое отображение вычисления.
23. Линейное топологическое пространство, сопряжённое пространству Cp(X).
24. Теорема Нагаты об изоморфизме топологических колец Cp(X) и Cp(Y).
25. Отображение сужения и двойственное отображение, их основные свойства.
26. Кардинальные инварианты пространств Cp(X) (три на выбор).
27. Пространство гомеоморфизмов, топологии на нём. Теорема: если X — нормальное пространство, то Homeo(X) с замкнуто-открытой топологией — топологическая группа. 

 
Слайды (обновлены 19 мая)
 

Топологической группой называется группа с топологией, относительно которой обе групповые операции (умножение и взятие обратного) непрерывны (такая топология называется групповой). Примеры топологических групп — группы Ли, многие группы непрерывных преобразований, функциональные пространства и пр. 
       Групповая и топологическая структуры оказывают друг на друга сильное влияние. Уже проблема существования недискретной хаусдорфовой групповой топологии на произвольной бесконечной группе оказываетсявесьма нетривиальной. Все группы топологически однородны (системы окрестностей всех точек устроены одинаково), поскольку умножение на любой фиксированный элемент — гомеоморфизм. Хорошо известно, что если в топологической группе единица обладает счётной базой окрестностей, то топология этой группы порождается некоторой «хорошей» (инвариантной) метрикой. Имеются и другие примеры сильного влияния наличия групповой структуры, согласованной с топологией, на топологические свойства.
       В свою очередь, алгебраические свойства зависят от наличия согласованной с операциями топологии. Например, в любой компактной полугруппе, операция которой непрерывна хотя бы по одному аргументу, имеется идемпотент, т.е. элемент, равный своему квадрату. Алгебраическая структура всякой абелевой группы, на которой существует хаусдорфова  компактная групповая топология, хорошо известна и имеет несложное описание, а неабелева группа с  такой топологией вкладывается в качестве подгруппы в декартово произведение конечных групп.
       Известно, что не на всяком топологическом многообразии можно ввести структуру гладкого многообразия. Однако  если многообразие — топологическая группа, то эта группа является группой Ли, т.е. допускает структуру не только гладкого, но и аналитического многообразия. Более того, групповые операции выражаются вещественно-аналитическими функциями от локальных координат. 
       С другой стороны, группой Ли является и всякая локально компактная топологическая группа, в которой некоторая окрестность единицы не содержит нетривиальных подгрупп. 
       Все эти темы будут обсуждаться на спецкурсе. Часть курса будет посвящена группам и полугруппам с топологиями, относительно которых операции непрерывны лишь в некотором слабом смысле (например, в полутопологических  умножение раздельно непрерывно, а взятие обратного вообще не предполагается непрерывным). При некоторых условиях из слабой непрерывности автоматически вытекает сильная; так, любая локально компактная полутопологическая группа является топологической группой. Будут также рассмотрены свободные топологические группы и топологические векторные пространства, в частности, пространства отображений.