Курс посвящен методу форсинга, или вынуждения. Он был изобретен для решения проблемы истинности континуум-гипотезы (о (не)существовании несчетного множества, мощность которого строго меньше мощности вещественной прямой). С помощью этого метода удалось доказать, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках аксиом ZFC теории множеств, лежащих в фундаменте всей математики. Впоследствии выяснилось, что это универсальный метод построения моделей теории множеств, в которых верны те или иные утверждения. В современной математике без него совершенно невозможно обойтись. С его помощью было установлено, что многие фундаментальные проблемы (такие как первая проблема Гильберта о континуум-гипотезе, проблема Суслина о топологической характеризации пространства вещественных чисел, проблема Уайтхеда о свободных группах и многие другие) долгое время оставались нерешенными именно потому, что они в принципе не могут быть решены. В курсе метод будет изложен "с нуля", но со строгим обоснованием. В качестве несложной иллюстрации будет полностью со всей строгостью доказана недоказуемость и неопровержимость континуум-гипотезы, после чего будут доказаны общие теоремы о границах применимости метода и приведены дальнейшие примеры его применения.
 
Никаких предварительных знаний не требуется.
 
СЛАЙДЫ
 

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Аксиомы ZFC
2. Упорядоченные множества. Ординалы и кардиналы. Теорема об изоморфизме (без доказательства).
3. Теорема Цермело (без доказательства). Трансфинитная индукция. 
4. Лемма Цорна (без доказательства). Примеры применения.
5. Универсум фон Неймана.
6. Модель теории множеств. Теорема Лёвенгейма--Скулема о существовании счетной модели (без доказательства), парадокс Скулема.
7. Генерические множества. Имена и интерпретации. Определение генерического расширения модели ZFC как множества интерпретаций.
8. Аксиомы ZFC в генерическом расширении. 
9. Вынуждение. Теорема об определимости и теорема об истинности (без доказательства).
10. Условие счётности цепей. Первая теорема о сохранении кардиналов. 
11. Коэновское частично упорядоченное множество. Лемма о дельта-системе, доказательство выполнения условия счётности цепей в коэновском частично упорядоченном множестве. 
12. Доказательство совместимости отрицания континуум-гипотезы с ZFC методом форсинга.
13. Теорема о сохранении функций и её следствия. 
14. Антикоэновское частично упорядоченное множество. Доказательство совместимости континуум-гипотезы с ZFC методом форсинга.
15. Гипотеза Суслина о существовании линейно упорядоченного несепарабельного топологического пространства со свойством Суслина. Прямая Суслина. Доказательство того, что квадрат прямой Суслина не обладает свойством Суслина. Дерево Суслина. 
16. Аксиома Мартина. Сохранение свойства Суслина произведениями в предположении аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы.
17. Теорема Соловея и гипотеза Лузина. 

ЛИТЕРАТУРА

1. Справочная книга по математической логике под ред. Дж. Барвайса. Часть II: Теория множеств. Пер. с англ. М.: Наука (Физматлит), 1982.
2. K. Kunen. Set Theory: An Introduction to Indepence Proofs, North Holland, Amsterdam, 1980.
3. Т. Йех. Теория множеств и метод форсинга. Пер. с англ. М.: Мир, 1973.
4. Н.К. Верещагин, А. Шень, Начала теории множеств, 4-е изд. М.: МЦНМО, 2012.
5. А.В.Архангельский, Канторовская теория множеств, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.