СЛАЙДЫ
обновлены 13 июня --- исправлены опечатки на слайдах 66 (в замечании) и 82 и 23 июня --- исправлены опечатки на слайдах 19, 41, 56, 57, 62 и 82
 
Курс посвящен методу форсинга, или вынуждения. Без этого метода в современной математике совершенно невозможно обойтись, поскольку многие фундаментальные проблемы (такие как первая проблема Гильберта о континуум-гипотезе, проблема Суслина о топологической характеризации пространства вещественных чисел, проблема Уайтхеда о свободных группах и многие другие) долгое время оставались нерешенными именно потому, что они в принципе не могут быть решены в рамках аксиом ZFC теории множеств, лежащих в фундаменте всей современной математики. Метод форсинга был изобретен для решения проблемы истинности континуум-гипотезы (о (не)существовании несчетного множества, мощность которого строго меньше мощности вещественной прямой), однако впоследствии выяснилось, что это универсальный метод построения моделей теории множеств, в которых верны те или иные утверждения, многие из которых будут обсуждаться на спецкурсе. В курсе метод будет изложен "с нуля", но со строгим обоснованием. В качестве несложной иллюстрации будет полностью со всей строгостью доказана недоказуемость и неопровержимость континуум-гипотезы, после чего будут доказаны общие теоремы о границах применимости метода и приведены дальнейшие примеры его применения. Часть спецкурса будет посвящена открытым проблемам, включая те, решением которых занимается автор в настоящее время. Никаких предварительных знаний не требуется.
 
ПРОГРАММА

1. Язык теории множеств. Алгебраические системы.
2. Аксиомы ZFC
3. Упорядоченные множества. Вполне упорядоченные множества. Теорема об изоморфизме.
4. Транзитивность. Ординалы и кардиналы.
5. Теорема Цермело. Трансфинитная индукция и рекурсия.
6. Универсум фон Неймана. Рекурсия по отношению принадлежности.
7. Лемма Цорна. Примеры применения.
8. Модели. Теорема Генкина о существовании модели. Теоремы Гёделя о полноте и неполноте.
9. Теорема Лёвенгейма--Скулема о существовании счетной модели. Конструктивный универсум Гёделя.
10. Генерические множества.
11. Имена и интерпретации. Определение генерического расширения модели ZFC как множества интерпретаций.
12. Основные положения форсинга: теорема об определимости и теорема о минимальности.
13. Аксиомы ZFC в генерическом расширении.
14. Первая теорема о сохранении кардиналов.
15. Доказательство совместимости отрицания континуум-гипотезы с ZFC методом форсинга.
16. Вторая теорема о сохранении кардиналов.
17. Доказательство совместимости континуум-гипотезы с ZFC методом форсинга.
18. Гипотеза Суслина о существовании линейно упорядоченного несепарабельного топологического пространства со свойством Суслина. Доказательство того, что квадрат прямой Суслина не обладает свойством Суслина.
19. Аксиома Мартина. Следствие аксиомы Мартина: усиление теоремы Бэра.
20. Сохранение свойства Суслина произведениями в предположении аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы.
21. Ультрафильтры. Рамсеевские (селективные) ультрафильтры. Существование рамсеевских ультрафильтров в предположении аксиомы Мартина.
22. Другие комбинаторные следствия аксиомы Мартина. Малые кардиналы.
23. Гипотеза Бореля. Лузинские множества. Существование несчетных лузинских множеств и несчетных множеств сильной меры нуль.
24. Принцип Йенсена и его следствия.
25. Деревья. Равносильность существования дерева Суслина и прямой Суслина.
26. Существования дерева Суслина с ZFC в предположении выполнения принципа Йенсена. Несохранение свойства Суслина произведениями топологических пространств в предположении выполнения принципа Йенсена.
27. Фильтр замкнутых неограниченных подмножеств несчётного кардинала. Сохранение замкнутых неограниченных множеств счётными и диагональными пересечениями.
28. Стационарные множества. Лемма Фодора.
29. Недостижимые и измеримые кардиналы. Критерий измеримости, существование рамсеевских ультрафильтров на измеримых кардиналах.
30. Категории, проективные объекты.
31. Булевы алгебры. Двойственность Стоуна.
32. Экстремально несвязные пространства. Проблема существования экстремально несвязной группы. Доказательство того, что из несуществования быстрых фильтров следует существование дискретного множества с единственной предельной точкой в каждой недискретной счетной топологической группе.
33. Существование быстрых фильтров на несчетных кардиналах в ZFC.
34. Итерированный форсинг. Теоремы о произведении  частично упорядоченных множеств. Теорема о сохранении кардиналов при двукратном расширении.
35. Теорема Истона.
36. Булевозначный подход к форсингу.

 
ЛИТЕРАТУРА

1. K. Kunen. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Amsterdam: North-Holland, 1983.

2. Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971.

3. Дж. Барвайс. Введение в логику первого порядка. В кн.: Справочная книга по математической логике, ч. I: Теория моделей, гл. 1. Под ред. Дж. Барвайса. М.: Наука, 1982.

4. Дж. П. Бёрджес. Вынуждение. В кн.: Справочная книга по математической логике, ч. II: Теория множеств, гл. 4. Под ред. Дж. Барвайса. М.: Наука, 1982. С. 99–157.

5. П. Дж. Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. 2-е изд. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2010.

6. J. E. Vaughan. Small uncountable cardinals in topology. В кн. Open Problems in Topology. Ред. J. van Mill, G. M. Reed. Amsterdam: North-Holland, 1990. С. 196–218.

7. Т. Йех. Теория множеств и метод форсинга. М.: Мир, 1973.