Лектор
О.В. Сипачёва
Линейная алгебра и геометрия
Время проведения:
весенний семестр, 2021-2022
Расписание
понедельник, пятница 10:45-12:20, дистанционно, Zoom
Аудитория курса: 1-й курс, 1-й поток
Программа

Слайды     обновлены 14 июня (исправлены опечатки на слайдах 12, 41, 133, 153, 154) и 23 июня (исправлена опечатка на слайде 334)

Предупреждение: начиная с лекции 4 марта на слайдах приводятся лишь формулировки и (не всегда) основные моменты доказательств. На экзамене будет требоваться знание и понимание всех деталей и доказательств. Книги, в которой содержится весь материал лекций, не существует.

 

 

Программа

1. Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость и линейные комбинации векторов. Линейная 
оболочка. 
 
2. Базис и размерность. Дополнение линейно независимой системы векторов до базиса. Ранг системы векторов. 
Координаты векторов. Матрица перехода. 
 
3. Изоморфизм векторных пространств. Изоморфизм пространств одинаковой размерности.
 
4. Параметрические уравнения подпространства. Суммы и пересечения подпространств. Прямая сумма 
подпространств. Формула Грассмана.
 
5. Линейные функции (функционалы). Сопряженное пространство. 
Взаимный базис. Преобразование координат во взаимном базисе сопряжённого пространства. 
 
6. Естественный 
изоморфизм между V и V**. 
 
7. Свёртка. Аннулятор, нуль-пространство. Связь между рангом системы векторов и 
размерностью её аннулятора. 
 
8. Ядро линейного функционала. Подпространства как пересечения ядер линейных 
функций и как пространства решений однородных систем линейных уравнений. 
 
9. Линейные отображения. Матрица линейного отображения конечномерных пространств. Преобразование матрицы 
линейного отображения при замене базисов. Ранг линейного отображения. 
 
10. Размерности ядра и образа отображения 
конечномерных пространств, их связь с рангом отображения, инъективностью и сюръективностью отображения. 
 
11. Факторпространство, естественное отображение, размерность факторпространства. 
 
12. Сопряжённое отображение. 
 
13. Комплексификация и овеществление векторных пространств, их базисы. Комплексификация и овеществление линейных 
отображений. 
 
14. Линейные операторы, их матрицы, преобразование матрицы при замене базиса. Подобие матриц. Ранг и определитель 
линейного оператора. 
 
15. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебры матриц и алгебры линейных 
операторов. Размерность алгебры линейных операторов в конечномерном пространстве как векторного пространства. 
Вырожденные и невырожденные операторы. 
 
16. Многочлены от операторов. Аннулирующий многочлен, его существование.
 
17. Инвариантные подпространства.  Фактор-оператор. Вид матрицы оператора в базисе, содержащем базис 
инвариантного подпространства. Разложение оператора в прямую сумму операторов. Вид матрицы оператора в базисе, 
состоящем из базиса подпространств --- прямых слагаемых. 
 
18. Разложение оператора в прямую сумму ядер 
операторов f1(A) и f2(A), где f1 и f2 --- взаимно простые многочлены, произведение которых является анулирующим 
многочленом. 
 
19. Критерий того, что матрица оператора имеет блочно-диагональный вид в некотором 
базисе. 
 
20. Собственные векторы и собственные значения. Спектр оператора. Диагонализируемые операторы.  
Характеристический многочлен, его корни, независимость от базиса. 
 
21. Совпадение инвариантных подпространств 
операторов A и A - \lambda E. Собственное подпространство, его инвариантность и размерность. Линейная 
независимость собственных векторов, соответствующих разным собственным значениям. Теорема: сумма собственных 
подпространств является прямой. 
 
22. Комплексификация оператора в вещественном пространстве. Существование одномерных 
или двумерных инвариантных подпространств у операторов над вещественным полем. 
 
23. Корневые векторы и 
подпространства. Связь корневых подпространств с собственными подпространствами. Инвариантность и 
размерность корневых подпространств. Разложение оператора, у которого аннулирующий многочлен 
раскладывается в произведение линейных множителей, в прямую сумму операторов в подпространствах корневых 
пространств. 
 
24. Нильпотентные операторы. Разложение оператора в прямую сумму нильпотентного и невырожденного. 
 
25. Жорданов базис нильпотеного оператора, доказательство его существования. Выражение размеров 
жордановых клеток через ранги матриц, единственность жордановой формы нильпотентного оператора. 
 
26. Жордановы клетки и матрицы, жорданов базис. Единственность 
жордановой нормальной формы матрицы. 
 
27. Алгебраическая и геометрическая кратности корней характеристического 
многочлена, их связи с размерностями собственных и корневых  подпространств. Критерии диагонализируемости 
оператора и существования 
жорданова базиса. 
 
28. Теорема Гамильтона-Кэли и её следствия. Минимальный многочлен и его свойства. Степень минимального 
многочлена. 
 
29. Сопряжённые операторы, совпадение их характеристических многочленов и жордановых форм.  
 
30. Билинейные функции. Корреляции и ядра. Ортогональные векторы. Ортогональные дополнения. Изотропные векторы и 
конусы, вполне изотропные подпространства. Критерий того, что подпространство вполне изотропно. 
 
31. Матрица билинейной функции на конечномерном пространстве (матрица Грама). Изменение матрицы при замене 
базиса. Ранг билинейной функции. Матрицы корреляций. 
 
32. Невырожденные билинейные функции. Критерии невырожденности билинейной функции  на конечномерном пространстве. 
Связь размерности подпространства с размерностями его ортогональных дополнений относительно невырожденной 
билинейной функции. Канонический оператор.
 
33. Симметричные и кососимметричные билинейные функции. Разложение векторного пространства билинейных функций в 
прямую сумму пространств симметричных и кососимметричных билинейных функций. Симметрирование и альтернирование. 
Совпадение левого и правого ядер и левой и правой ортогональности для симметричных и кососимметричных билинейных 
функций. 
 
34. Матрица симметричной  билинейной функции. Теорема Лагранжа. Канонический базис для 
симметрической билинейной функции. 
 
35. Матрица кососимметричной билинейной функции. Симплектический базис, его существование для кососимметричной 
билинейной функции.
 
36. Квадратичные формы и их матрицы. Поляризация. Канонический вид квадратичной формы, канонический базис. 
 
37. Приведение квадратичной формы к каноническому виду: метод Лагранжа. 
 
38. Приведение квадратичной формы к каноническому виду: метод Якоби. 
 
39. Нормальный вид квадратичной формы над полями комплексных и действительных чисел. Закон инерции. 
Теорема Якоби об отрицательном индексе инерции. 
 
40. Положительно определенные квадратичные формы. Нормальный вид положительно определённой квадратичной формы.  
Критерий Сильвестра. 
 
41. Скалярное произведение. Евклидово пространство. Длина вектора, угол между векторами. 
Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. 
 
42. Матрица Грама и ее свойства. Критерий линейной независимости системы векторов в терминах её матрицы 
Грама. Ортогональные векторы. Линейная независимость ненулевых попарно ортогональных векторов. Теорема Пифагора. 
 
43. Ортогональный и ортонормированный базис. Формула для скалярного произведения и координаты вектора в 
ортонормированном базисе. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Существование ортонормированного базиса. 
Ортогональное проектирование, ортогональное дополнение в евклидовом пространстве.
 
44. Расстояние в евклидовом пространстве. Расстояние от вектора до подпространства, угол между вектором и 
подпространством. Параллелепипед, его объём.
 
45. Ортогональные матрицы, из свойства.  Группа O(n). Теорема о QR-разложении. 
 
46. Геометрический смысл определителя.
 
47. Изоморфизм евклидовых пространств. Изоморфизм между любыми евклидовыми пространствами одинаковой размерности. 
 
48. Линейные функции на евклидовых пространств. Отождествление векторов и функционалов.
 
49. Линейные операторы и билинейные функции на евклидовых пространствах, соответствие между ними, совпадение 
матриц соответствующих друг другу операторов и билинейных функций в ортонормированных базисах.
 
50. Сопряжённые линейные операторы в евклидовых пространствах, из матрицы. Свойства операции сопряжения. 
 
51. Самосопряжённые операторы в евклидовом пространстве, их матрицы. Собственные векторы самосопряжённого 
оператора. Инвариантность ортогонального дополнения до инвариантного подпространства для самосопряжённого 
оператора. Диагонализируемость матрицы самосопряжённого оператора. Критерий самосопряжённости. Сумма и 
композиция самосопряжённых операторов.
 
52. Приведение квадратичной формы на евклидовом пространстве к главным осям. 
Приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов. 
 
53. Ортогональные операторы в евклидовом 
пространстве, их матрицы. Критерии ортогональности оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к 
инвариантному подпространству для таких операторов. 
Разложение ортогонального оператора на плоские вращения и отражения. Ортогональная группа. 
 
54. Полярное разложение линейного оператора евклидова пространства. 
 
55. Полуторалинейные функции, их матрицы. Эрмитовы и косоэрмитовы полуторалинейные функции. Эрмитовы квадратичные 
формы, вещественность их значений. Соответствие между эрмитовыми полуторалинейными функциями и эрмитовыми 
квадратичными формами. 
 
56. Приведение  эрмитовой полуторалинейной функции и эрмитовой квадратичной формы к нормальному виду. Индексы 
инерции, закон инерции. 
 
57. Метод Якоби приведения эрмитовой полуторалинейной функции и эрмитовой квадратичной формы к 
каноническому виду. Формула Якоби. 
 
58. Положительно определённые эрмитовы полуторалинейные функции и квадратичные формы. Критерий 
Сильвестра. 
 
 
59. Эрмитово скаларное произведение, его свойства. Унитарное пространство. Длина вектора. Неравенство 
Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Ортогональные векторы. Теорема Пифагора. Линейная независимость 
попарно ортогональных векторов. 
 
60. Ортогональный и ортонормированный базис. Формула для эрмитова скалярного произведения и координаты вектора в 
ортонормированном базисе. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Существование ортонормированного базиса. 
Ортогональное проектирование и ортогональное дополнение в унитарном пространстве. 
 
61. Расстояние в унитарном пространстве. Расстояние от вектора до подпространства.
 
62. Унитарные матрицы, их свойства. Группа U(n). Изоморфизм унитарных пространств, его матрица. 
 
63. Линейные функции на унитарном пространстве. 
 
64. Линейные операторы в унитарном пространстве. Соответствие между операторами и полуторалинейными функциями. 
Сопряжённые операторы в унитарном пространстве. Свойства операции сопряжения. 
 
65. Самосопряжённые операторы в унитарном пространстве, их диагонализируемость, вещественность собственных 
значений. Сумма и композиция самосопряжённых операторов.
 
66. Приведение квадратичной функции к главным осям над полем комплексных чисел. 
 
67. Унитарные операторы на унитарных пространствах. Критерии унитарности. Собственные значения унитарных 
операторов.
 
68. Комплексификация евклидова пространства. 
 
69. Полярное разложение над полем комплексных чисел.
 
70. Аффинные пространства. Размерность аффинного пространства. Аффинная система координат, реперы. 
Аффинная зависимость. Барицентрические координаты. Связь между аффинными и барицентрическими координатами. 
Преобразование координат при переходе к новой системе координат. Изоморфизм аффинных пространств. Изоморфность 
аффинных пространств одной размерности. 
 
71. Аффинные подпространства. Аффинная оболочка. Критерий аффинной независимости. Геометрическая 
характеризация аффинных подпространств. Взаимное расположение плоскостей. 
 
72. Аффинно-линейные функции. Задание аффинного подпространства как множества решений системы линейных уравнений. 
 
73. Аффинные отображения. Характеризация аффинных отображений в терминах барицентрических координат. 
Барицентрическая линейная комбинация аффинных отображений. Матрица аффинного отображения. Ранг аффинного 
отображения. 
 
74. Аффинные операторы и преобразования. Матрица аффинного оператора. Полная аффинная группа и её подгруппы. 
Основная теорема аффинной геометрии.   
 
 
74. Аффинно-евклидово пространство. Прямоугольные системы координат. 
Изоморфизм аффинно-евклидовых пространств. Расстояние и угол между плоскостями. 
 
75. Аффинные операторы в аффинно-евклидовых пространствах. Движения. Представление любого движения как композиции 
сдвига и движения с неподвижной точки. аффинные ортогональные операторы. Разложение движения аффинного 
евклидова пространства в произведение движения с неподвижной точкой и сдвига. 
 
76. Аффинно-квадратичные функции, их матрицы. Центр аффинно-квадратичной фукнции. Приведение аффинно-квадратичной 
функции к каноническому виду. 
 
77. Аффинно-квадратичные функции в аффинно-евклидовых пространствах. Квадрики, их вершины и центры. Пересечение 
прямой с квадрикой. Пропорциональность функций, задающих одну и ту же квадрику. Совпадение центра квадрики с 
центром аффинно-квадратичной функции. 
 
78. Аффинная классификация квадрик. 
 
79. Метрическая классификация квадрик. 
 
80. Понятие тензора. Координаты тензора, закон изменения при переходе к другому базису. Линейные операции над 
тензорами, тензорное произведение. 
 
81. Тензорное произведение векторных пространств. Базис и размерность пространства тензоров. Разложимые тензоры. 
Универсальное свойство тензорного произведения.  Тензорное произведение линейных отображений. 
 
82. Свёртка тензора, её незавимость от базиса. 
 
83. Симметричные и кососимметричные тензоры. Симметрирование и альтернирование тензоров. Размерности 
пространств симметрических и кососимметрических тензоров. 
 
84. Тензоры в евклидовом пространстве: опускание и поднятие индексов, тензорное произведение евклидовых 
пространств.  
 
85. Прямая сумма векторных пространств. Тензорная алгебра и алгебра полилинейных функций. Универсальное 
свойство тензорной алгебры. 
 
86. Симметрическая степень конечномерного векторного пространства. Симметрическая алгебра, её универсальное 
свойство. Разложимые элементы. Симметрическое произведение тензоров. 
 
87. Внешняя степень конечномерного векторного пространства. Алгебра Грассмана, её универсальное свойство. 
Размерность алгебры Грассмана. Внешнее произведение тензоров. Плюккеровы координаты подпространства векторного 
пространства.