Топологические группы

Понедельник 16:45, ауд.474 (второй корпус). Первая лекция состоится 16 февраля.

Топологической группой называется группа с топологией, относительно которой обе групповые операции (умножение и взятие обратного) непрерывны (такая топология называется групповой). Примеры топологических групп — группы Ли, многие группы непрерывных преобразований, функциональные пространства и пр. Групповая и топологическая структуры оказывают друг на друга сильное влияние; уже проблема существования недискретной хаусдорфовой групповой топологии на произвольной бесконечной группе оказывается весьма нетривиальной. Хорошо известно, что все топологические группы топологически однородны, всякая отделимая топологическая группа вполне регулярна, топология всякой группы, единица которой обладает счётной базой окрестностей, порождается некоторой «хорошей» (инвариантной) метрикой и т.п. Кроме того, если топологическая группа является многообразием, то она является группой Ли, т.е. допускает структуру гладкого и даже аналитического многообразия. Более того, групповые операции выражаются вещественно-аналитическими функциями от локальных координат. С другой стороны, группой Ли является и всякая локально компактная топологическая группа, в которой некоторая окрестность единицы не содержит нетривиальных подгрупп. Все эти темы будут обсуждаться на спецкурсе. В этом семестре, в отличие от предыдущих лет, предполагается включить в программу обсуждение так называемых R-факторизуемых топологических групп (топологическая группа R-факторизуема, если любая непрерывная функция на ней "пропускается" через непрерывный гомоморфизм в топологическую группу со счётной базой), поскольку в прошлом году были получены важные результаты о таких группах. Для понимания курса желательно знакомство с начальными понятиями базовых курсов алгебры и топологии.