Лектор:
Расписание:
Cуббота, 16:45-18:20. Аудитория ещё не назначена. Первая лекция состоится 12 сентября
Осенний семестр, 2026/2027
Формат:
Ссылка для подключения:
Аудитория:
По выбору кафедры
Аннотация:
Курс служит мини-введением сразу в несколько разделов топологии: теория континуумов; теория вложений; теорема Бэра. На конкретных — известных и важных — примерах будет показано, что во многих ситуациях «странные» объекты являются «типичными» с точки зрения теоремы Бэра. Студенты не просто разбирают примеры и формулировки, а учатся размышлять над их ролью, значением, взаимосвязями. Курс может быть предложен студентам-математикам, начиная со 2 курса. Он интересен и как самостоятельный, и как дополнительный к обязательному курсу «Введение в топологию», читаемому в 3 семестре.
Программа
- Теорема Бэра о категории и ее роль в математике.
- Пространство непрерывных функций из [0;1] в ℝ.Типичная функция нигде не дифференцируема. Примеры.
- Канторово множество. Примеры канторовых множеств с многомерными проекциями. Ручные и дикие канторовы множества. Теорема Борсука. Вопросы Кобба о канторовых множествах. Частичные ответы на них. Открытые вопросы.
- Пример Борсука: узел в ℝ3, проекции которого на все плоскости двумерны. Примеры диких узлов. Пространство узлов в ℝ3. Теорема Милнора: типичный узел в ℝ3 является диким (идея доказательства). Теорема Боте: типичный узел в ℝ3 является диким в каждой своей точке (формулировка). Пример Бинга: узел, дикий в каждой точке.
- Метрика Хаусдорфа. Пространство непустых компактных подмножеств ℝN. Типичный непустой компакт в ℝN гомеоморфен канторову множеству.
- Пространство канторовых множеств в ℝN. Типичное канторово множество в ℝN является ручным.
- Континуумы. Пространство континуумов в ℝN. Пример неразложимого плоского континуума. Типичный континуум в ℝN наследственно неразложим.
- Псевдодуга. Ее свойства. Типичный континуум в ℝN является псевдодугой.
- Кривая Серпинского. Свойство универсальности. Характеризация континуумов, являющихся непрерывным образом отрезка. Образ отрезка под действием типичного непрерывного отображения в плоскость гомеоморфен универсальной кривой Серпинского.
Литература
- Дж. Окстоби. Мера и категория. М.: Мир, 1974.
- Л. В. Келдыш, “Топологические вложения в евклидово пространство”, Тр. МИАН СССР, 81 (1966), 3–184.
- B. Rushing Topological embeddings. 1973.
- R.J. Daverman, D.A. Venema. Embeddings in Manifolds. 2009.