Топологическая алгебра

1. Универсальные алгебры. Гомоморфизмы, конгруэнции, факторалгебры, подалгебры. Тождества. 
2. Теорема Биркгофа.
3. Свободные алгебры в данном многообразии, их существование. 
4. Производные операции. Мальцевский терм (операция Мальцева). Примеры алгебр с производной операцией Мальцева. 
5. Теорема Мальцева о перестановочности конгруэнций. 
6. Топологические алгебры. Аксиомы отделимости в топологических алгебрах с производной операцией Мальцева и в топологических лупах.
7. Коммутативность фундаментальной группы линейно связной топологической алгебры, имеющей бинарную операцию с нейтральным элементом. 
8. Многообразия топологических алгебр. Свободные топологические алгебры, их существование.
9. Изоморфизм между несущей абстрактной алгеброй свободной топологической алгебры топологического пространства X в нетривиальном многообразии топологических алгебр и абстрактной свободной алгеброй множества X в соответствующем многообразии абстрактных алгебр. Инъективность отображения i_X пространства X в его свободную топологическую алгебру в нетривиальном многообразии. 
10. Характеризация топологии свободной топологической алгебры топологического пространства X как самой сильной из всех топологий, согласованных с операциями и индуцирующих на множестве X топологию, содержащуюся в топологии пространства X. 
11. Вывод теоремы о том, что тихоновское топологическое пространство гомеоморфно вложено в его свободную топологическую алгебру в любом нетривиальном многообразии топологических алгебр из теоремы Сверчковского.
12. Замкнутость тихоновского пространства X в его свободной топологической алгебре.
13. Индуктивный предел топологических пространств. Сохранение топологии индуктивного предела факторными отображениями.
14. Пример топологической алгебры, гомоморфный образ которой с фактортопологией не является топологической алгеброй. 
15. Теорема Мальцева–Тэйлора: для того, чтобы все гомоморфные образы алгебр из данного многообразия топологических алгебр с фактортопологией были топологическими алгебрами, необходимо и достаточно, чтобы среди производных операций этого многообразия была операция Мальцева. Доказательство достаточности.
16. Топологические группы, их основные свойства. 
17. Проблема существования недискретной групповой топологии на бесконечной группе. 
18. Теорема: всякий компакт с непрерывной операцией Мальцева является ретрактом топологической группы.
19. Свойство Суслина в топологических алгебрах с операцией Мальцева, являющихся счётными объединениями компактов.
20. Раздельно непрерывные операции. Кросс-топология на произведении топологических пространств и её связь с раздельной непрерывностью отображений. 
21. Факторность произведения факторных отображений относительно кросс-топологии. 
22. Квазитопологические алгебры. Теорема: гомоморфный образ квазитопологической алгебры с фактортопологией является квазитопологической алгеброй. 
23. Абсолютно свободная квазитопологическая алгебра.
24. Свободные квазитопологические алгебры. Топология индуктивного предела на таких алгебрах.
25. Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента.
26. Ультрафильтры, основное свойство ультрафильтров. Главные и неглавные ультрафильтры. Существование неглавных ультрафильтров.
27. Топологическое пространство ультрафильтров, его свойства. 
28. Полугруппа ультрафильтров на полугруппе. 
29. Теорема Шура о раскрасках натуральных чисел. 
30. Проблема продолжения (раздельно) непрерывных операций и тождеств на объемлющие пространства. 

Рукописные записки к лекциям можно скачать здесь:.