О Σ-произведениях компактов

Вопрос. Верно ли, что Σ-произведение компактов является k-пространством?

Из 

А. П. Комбаров, В. И. Малыхин, “О $\Sigma$ -произведениях”, Докл. АН СССР, 213:4 (1973),  774–776

вытекает 

Теорема 1. Σ-Произведение компактов счетной тесноты является k-пространством

Теорема 2. Σ-Произведение компактов  характера не более 𝜔₁ является k-пространством

Пространство X называется k_R-пространством, если вещественная функция f на X непрерывна если и только если ограничение функции f на любой компакт K ⊆  X непрерывна.

Интересен также следующий вопрос

Вопрос. Верно ли, что Σ-произведение компактов является k_R-пространством?

Теорема 2. Σ-Произведение  компактов является k_R-пространством.

Частный случай теоремы 2, когда каждый компакт является произведением метризуемых компактов, были доказаны в 

Saak Gabriyelyan, Jan van Mill and Evgenii Reznichenko, Closed embeddings of spaces and groups into pseudocompact k_R-groups

Следствие. Σ-Произведение компактных груп является k_R-пространством.