1-я тема
Сравнение топологий. Метризуемые пространства. Эквивалентные метрики. Линейно упорядоченные пространства.
Задача 1. На множестве, дискретная топология самая сильная, антидискретная самая слабая.
Задача 2. Конечная пространство метризуемо или линейно упорядоченно если и только если пространство дискретна.
Задачи: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.12, 1.13, 2.4, 2.5, 2.6.
Неархимеловы метрики. Нульмерные пространства.
Определение. Пространство нульмерно если открыто замкнутые множества образуют базу.
Задачи: 1.6.
Задача 3. Метрическое пространство с неархимедовой метрикой нульмерно.
Определение. Семейство множеств неархимедово, если любые два элемена либо неперексекаются, либо одно вложено в другое.
Задача 4. В пространстве с неархимедовой метрикой
1) любое семейство открытых шаров неархимедово
2) в любое открытое покрытие (=покрытие, состоящее из открытых множеств) можно вписать разбиение (=дизьюнктное покрытие), состоящее из открыто замкнутых множеств.
Задачи: 2.7
Задача 5*. На рациональных и иррациональных числах есть неархимедова метрика, задающая топологию.
2-я тема
Пространства со счетной базой.
Пространства со счетной базой также называются пространствами со второй аксиомой счетности.
Задача 1. Пусть X пространство со второй аксиомой счетности, B некоторая база X. Тогда для любого отрытого U существует не более чем счетное C в B, такое что U есть объединение C.
Задача 2. (1.10) Докажите, что если топологическое пространство обладает счётной базой, то любая его база содержит не более чем счётное подсемейство, являющееся базой.
Задача 3. (1.10) Верно ли аналогичное утверждение для предбаз?
Задача 4. Докажите, что подпространство пространства со второй аксиомой счетности обладает второй аксиомой счетности.
Задача 5. (Лекции 4 и 5 - первые 3 пункта) Докажите, что для метризуемого пространства X следующие утверждения эквивалентны:
(1) X со второй аксиомой счетности;
(2) X сепарабельно;
(3) X со счетным числом Суслина;
(4) любое дискретное замкнутое подпространство X не более чем счетно;
(5) любое дискретное подпространство X не более чем счетно.
Задача 6. Докажите, что подпространство сепарабельного метризуемого пространства сепарабельно.
Задача 7. Пусть W — множество всех не более чем счётных ординалов с порядковой топологией. Докажите, что
(1) W пространство с первой аксиомой счетности;
(2) множество I всех не предельных ординалов в W открыто, дискретно и плотно в W;
(3) W не сепарабельно;
(4) в W любое дискретное замкнутое подпространство конечно;
(5) W не метризуемо.
Задача 8. Построить пример счетного компактного не метризуемого пространства со второй аксиомой счетности, в котором каждая точка замкнута.
Пространство называется хаусдорфовым, если у любых двух различных точек есть непересекающиеся окрестности.
Задача 9. Построить пример счетного не метризуемого хаусдорфово пространства со второй аксиомой счетности.
Прямая Зоргенфрея. (4.7)
Вещественная прямая с топологией, порождённой базой {[𝑎, 𝑏) : 𝑎, 𝑏 ∈ R}, называется прямой Зоргенфрея и обычно обозначается 𝑆. Подпространство [0, 1) 𝑆 прямой Зоргенфрея называется стрелкой Зоргенфрея, а топология прямой Зоргенфрея называется топологией стрелки.
Задача 10. Пусть M есть подмножество прямой. Доказать что замыкание M в обычной топологии и в топологии прямой Зоргенфрея отличаются на не более чем счетное множество.
Задача 11. (4.7) Доказать что любое подпространство прямой Зоргенфрея сепарабельно.
Задача 12. (4.7) Доказать что прямая Зоргенфрея
(1) со первой аксиомой счетности;
(2) без второй аксиомой счетности. Сепарабельные пространства и пространства со свойством Суслина.
Говорят, что топологическое пространство обладает свойством Суслина, если в нём всякое семейство попарно непересекающихся открытых множеств не более чем счётно (4.9).
Задача 13. Пусть Y плотное подпространство пространства X. Докажите что
(1) если Y сепарабельно, то X сепарабельно;
(2) Y со свойством Суслина если и только если X со свойством Суслина.
Задача 14. (4.9) Покажите, что свойство Суслина и сепарабельность наследуются открытыми подпространствами, т.е. вся кое открытое подпространство сепарабельного пространства (пространства со свойством Суслина) тоже сепарабельно (обладает свойством Суслина).
Задача 15.* (4.9) Покажите, что свойство Суслина наследуется плотными подпространствами, а сепарабельность не наследуется.
Задача 16. (4.9) Приведите пример несепарабельного пространства со свойством Суслина.
3-я тема