1-я тема
Сравнение топологий. Метризуемые пространства. Эквивалентные метрики. Линейно упорядоченные пространства.
Задача 1. На множестве, дискретная топология самая сильная, антидискретная самая слабая.
Задача 2. Конечная пространство метризуемо или линейно упорядоченно если и только если пространство дискретна.
Задачи: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.12, 1.13, 2.4, 2.5, 2.6.
Неархимеловы метрики. Нульмерные пространства.
Определение. Пространство нульмерно если открыто замкнутые множества образуют базу.
Задачи: 1.6.
Задача 3. Метрическое пространство с неархимедовой метрикой нульмерно.
Определение. Семейство множеств неархимедово, если любые два элемена либо неперексекаются, либо одно вложено в другое.
Задача 4. В пространстве с неархимедовой метрикой
1) любое семейство открытых шаров неархимедово
2) в любое открытое покрытие (=покрытие, состоящее из открытых множеств) можно вписать разбиение (=дизьюнктное покрытие), состоящее из открыто замкнутых множеств.
Задачи: 2.7
Задача 5*. На рациональных и иррациональных числах есть неархимедова метрика, задающая топологию.