Введение в топологию

1-я тема

Сравнение топологий. Метризуемые пространства. Эквивалентные метрики. Линейно упорядоченные пространства.

 

Задача 1. На множестве, дискретная топология самая сильная, антидискретная самая слабая.

 

Задача 2. Конечная пространство метризуемо или линейно упорядоченно если и только если пространство дискретна.

 

Задачи: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.12, 1.13, 2.4, 2.5, 2.6.

 

Неархимеловы метрики. Нульмерные пространства.

 

Определение. Пространство нульмерно если открыто замкнутые множества образуют базу.

 

Задачи: 1.6.

 

Задача 3. Метрическое пространство с неархимедовой метрикой нульмерно.

 

Определение. Семейство множеств неархимедово, если любые два элемена либо неперексекаются, либо одно вложено в другое.

 

Задача 4. В пространстве с неархимедовой метрикой

1) любое семейство открытых шаров неархимедово

2) в любое открытое покрытие (=покрытие, состоящее из открытых множеств) можно вписать разбиение (=дизьюнктное покрытие), состоящее из открыто замкнутых множеств.

 

Задачи: 2.7

 

Задача 5*. На рациональных и иррациональных числах есть неархимедова метрика, задающая топологию.