Программа
- Фильтр, база фильтра. Ультрафильтр. Главные и неглавные ультрафильтры. Существование неглавных ультрафильтров.
- Теорема: любое центрированное семейство подмножеств любого множества содержится в ультрафильтре. Основное свойство ультрафильтров. Отображения фильтров и ультрафильтров.
- Топологическое пространрство. Окрестности, замыкания, плотные множества. Сходимость фильтров. Характеризация точек прикосновения в терминах сходимости фильтров и ультрафильтров. Непрерывность отображений. Характеризация непрерывности в терминах сходимости ультрафильтров.
- Компактные пространства. База топологии. Хаусдорфовы пространства, подпространства. Компактность и замкнутость в хаусдорфовых пространствах. Регулярность хаусдорфовых компактных пространств. Характеризация компактности в терминах сходимости ультрафильтров.
- Топологическое пространство ультрафильтров, восемь его свойств.
- Полугруппа ультрафильтров.
- Две теоремы о компактных полугруппах.
- Теорема Хиндмана. Следствие: теорема Шура.
- Топологические группы: определение, примеры, специфические свойства. Топологические кольца. Алгебраически изолированные точки. Теорема Арнаутова.
- Теорема ван дер Вардена.
- Топологическое (тихоновское) произведение. Теорема Тихонова о компактности произведений.
- Теорема компактности для разбиений. Конечные версии комбинаторных теорем (на примере теоремы Шура).
- Объединение множества минимальных идеалов в полугруппе, его связь с правыми идеалами.
- Естественный порядок на множестве идемпотентов полугруппы. Теорема: для любого идемпотента e в компактной полугруппе S каждый минимальный идеал в Se содержит идемпотент, не превосходящий e. Теорема о минимальных идемпотентах.
- Толстые множества в группах. Теорема о толстых множествах. Критерий толстоты в полугруппе N.
- Синдетические множества в полугруппах. Теорема двойственности. Теорема о синдетических множествах. Критерий синдетичности в полугруппе N..
- Кусочно синдетические множества. Теорема о кусочно синдетических множествах.
- Действие полугруппы на множестве. Динамическая система. Подсистемы, орбиты, транзитивные системы, минимальные системы. Теорема о минимальных подсистемах.
- Множество времён возврата. Теорема о синдетических множествах возврата (без доказательства).
- Рекуррентные точки. Теорема: x рекуррентна тогда и только тогда, когда px = x для некоторого ультрафильтра p, отличного от 1.
- Топологическое пространство N*. Его мощность. Отсутствие в нём сходящихся последовательностей.
- P-точки. Вывод неоднородности N* из существования P-точки в N*.
- Критерий того, что неглавный ультрафильтр является P-точкой.
- Четыре типа неглавных ультрафильтров на N: определение в терминах разбиений и в терминах отображений. Определение порядка Рудин--Кейслера. Определение эквивалентности ультрафильтров. Существование несравнимых ультрафильтров.
- Теорема о том, что всякий ультрафильтр, не превосходящий некоторого P-ультрафильтра в смысле порядка Рудин--Кейслера, тоже является P-ультрафильтром, и что всякий селективный ультрафильтр минимален. Определение порядка Рудин--Бласса. Теорема о том, что всякий ультрафильтр, не превосходящий некоторого быстрого ультрафильтра в смысле порядка Рудин--Бласса, тоже является быстрым, и что всякий Q-ультрафильтр минимален.
- Рамсеевские ультрафильтры. Равносильности рамсеевости селективности. Существование рамсеевских ультрафильтров в предположении справедливости континуум-гипотезы.
- Тензорное произведение ультрафильтров. Теорема: тензорное произведение любого ультрафильтра на N и быстрого ультрафильтра является быстрым. Следствие: множество быстрых ультрафильтров --- левый идеал. Существование быстрого идемпотента. Доказательство того, что тензорные произведения и идемпотенты не бывают Q- и P-ультрафильтрами.