Топологическое пространство псевдо-ω1-компактно, если любое дискретное (или, что равносильно, локально конечное) семейство открытых множеств не более чем счётно. Топологическая группа G называется ℝ-факторизуемой, если любая непрерывная функция f: G → ℝ факторизуется через гомоморфизм в сепарабельную метризуемую группу, т.е. любую такую функцию можно представить как композицию непрерывного гомоморфизма из G в некоторую топологическая группу H со счётной базой и непрерывной функции H → ℝ.
С точки зрения авторов наибольший интерес в теории ℝ-факторизуемых групп представляют четыре основные проблемы, ни одна из которых пока не решена:
- Верно ли, что всякая ℝ-факторизуемая группа псевдо-ω1-компактна?
- Верно ли, что квадрат ℝ-факторизуемой группы ℝ-факторизуем?
- Сохраняется ли ℝ-факторизуемость непрерывными гомоморфизмами?
- Является ли ℝ-факторизуемость топологическим свойством, т.е. верно ли, что топологическая группа, гомеоморфная ℝ-факторизуемой группе, и сама ℝ-факторизуема?
Если ответ на второй или третий вопрос положителен, то положителен и ответ на первый. Кроме того, если ответ на второй вопрос положителен, то положителен и ответ на четвёртый.
В докладе обсуждаются эти и некоторые другие вопросы. В частности, доказано, что
- если группа G2 ℝ-факторизуема, то G псевдо-ω1-компактна;
- если ℝ-факторизуемая группа G содержит линделёфово подпространство несчётного псевдохарактера, то G псевдо-ω1-компактна;
- любая ℝ-факторизуемая группа G веса ≤ω1 псевдо-ω1-компактна;
- если ℝ-факторизуемая группа G содержит неметризуемый компакт, то G псевдо-ω1-компактна.