Предзащита кандидатской диссертации на тему «Универсальные алгебры с непрерывными и раздельно непрерывными операциями» (научный руководитель О.В. Сипачева)

Предложено полное доказательство существования свободной топологической алгебры FV(X) произвольного топологического пространства X в любом многообразии V топологических алгебр. Изучено строение абсолютно свободной алгебры и получено её явное описание.

Доказано, что на факторалгебре любой топологической алгебры из конгруэнц-перестановочного многообразия топологических алгебр (т.е. из многообразия с операцией Мальцева) все операции многообразия непрерывны относительно факторной топологии. Таким образом, в таком многообразии имеет смысл понятие топологической факторалгебры. Приведён пример многообразия топологических алгебр, в котором топологические факторалгебры существуют не всегда.

Исследованы аксиомы отделимости алгебр с операцией Мальцева.

Введено понятие свободной мальцевской алгебры топологического пространства (это свободная топологическая алгебра в многообразии всех топологических алгебр с операцией Мальцева). Выяснены условия, при которых топологическое пространство вкладывается в свою свободную мальцевскую алгебру (в качестве замкнутого подпространства).

Введено понятие свободной тихоновской мальцевской алгебры тихоновского пространства. Описаны основные свойства свободной тихоновской мальцевской алгебры.

Исследована связь между свободными мальцевскими пространствами и свободными топологическими грудами тихоновских пространств.

Доказано, что свободная булева группа (т.е. свободное векторное пространство над полем F2) кружевного T1-пространства является кружевным пространством.

Доказано, что в любом многообразии квазитопологических алгебр определены топологические факторалгебры. А именно, на любой факторалгебре любой квазитопологической алгебры операции раздельно непрерывны относительно факторной топологии.

Введено понятие и доказано существование свободной квазитопологической алгебры произвольного топологического пространства в данном многообразии квазитопологических алгебр. Получено явное описание абсолютно свободной квазитопологической алгебры произвольной сигнатуры произвольного топологического пространства. Доказано, что свободная  квазитопологическая алгебра произвольного пространства X является индуктивным пределом некоторых, естественным образом определённых, подалгебр. Для топологических алгебр это верно лишь в случае, когда пространство X обладает свойствами, близкими к компактности.

Введены свободные квазимальцевские алгебры и исследованы их свойства, в частности, аксиомы отделимости. Предъявлено явное описание свободной квазимальцевской алгебры данного топологического пространства. Доказано, что всякое квазимальцевское пространство является ретрактом некоторой квазитопологической группы, тогда как ретрактом топологической группы мальцевское пространство является только при дополнительных условиях. Кроме того, доказано, что если X ― тихоновское пространство и Y ― его замкнутое подпространство, то свободная квазимальцевская алгебра пространства Y является замкнутой подалгеброй свободной квазимальцевской алгебры пространства X.