Понедельник, 16:45, ауд 433. Первая лекция 21 сентября.
Топологической группой называется группа с топологией, относительно которой обе групповые операции (умножение и взятие обратного) непрерывны (такая топология называется групповой). Уже само существование такой топологии оказывает неожиданно большое влияние на алгебраические свойства групп и наоборот — существование непрерывных операций очень сильно влияет на топологические свойства. Уже проблема существования недискретной хаусдорфовой групповой топологии на произвольной бесконечной группе оказывается весьма нетривиальной. Известно, что если топологическая группа является многообразием, то она является группой Ли, т.е. допускает структуру гладкого и даже аналитического многообразия. С топологическими группами тесно связаны топологические векторные пространства, которые сами являются топологическими группами и потому обладают всеми их свойствами, но при этом имеют ещё и специфические свойства, связанные с непрерывной линейной структурой.
Предварительный план:
- Топологическая группа, основные свойства. Топологизируемость групп. Примеры нетопологизируемых групп Ольшанского и Шелаха.
- Полунормы на группах. Метризуемость топологических групп с первой аксиомой счётности.
- Связные и нульмерные топологические группы. Теорема ван Данцига.
- Тихоновское произведение топологических групп. Прямая сумма произвольного семейства топологических групп.
- Топологические факторгруппы, факторные гомоморфизмы.
- Свободные топологические, топологические абелевы и топологические булевы группы, их существование. Граевское продолжение непрерывных псевдометрик на топологическом пространстве X на свободную группу F(X). Топология индуктивного предела на свободной группе.
- Свойство Суслина компактно порождённых топологических групп.
- Универсальные топологические группы. Группа гомеоморфизмов топологического пространства. Группа изометрий метрического пространства.
- Топологические векторные пространства. Свободные топологические векторные пространства.
- Топологическая характеризация групп Ли.
- Функциональные пространства, топологии на них. Топология поточечной сходимости на функциональном пространстве. Каноническое отображение вычисления X → CpCp(X).
- Пространство Lp(X). Доказательство того, что Lp(X) = (Cp(X))′. Теорема Нагаты об изоморфизме топологических колец непрерывных функций.
- Отображение сужения и его свойства. Двойственное отображение и его свойства. Связь между кардинальными инвариантами топологического пространства X и пространства Cp(X).
- Локально выпуклые пространства. Формулировка теоремы Дугунджи.
- Свободные локально выпуклые пространства.
- Метризуемые подгруппы и подпространства топологических групп и векторных пространств. Сходящиеся последовательности в топологических группах и векторных пространствах.