ВНИМАНИЕ!
Начинаются экзамены. На экзамен по любому спецкурсу нужно записаться в эту таблицу. Со временем появится ещё день или два в экзаменационную сессию. При необходимости будут добавлены дополнительные слоты для записи. Если какие-то слоты в таблице за три часа до экзамена окажутся свободными, я буду считать себя вправе не сидеть в аудитории в соответствующие временные интервалы.
Вторник 18:30, ауд.450 (второй корпус). Первая лекция состоится 17 февраля.
Объекты изучения топологической алгебры — это топологические пространства, наделённые алгебраической структурой, согласованной с топологией; другими словами, это универсальные алгебры (т.е. множества с операциями), наделённые топологией, относительно которой все или некоторые операции непрерывны или раздельно непрерывны. Уже само существование такой топологии оказывает неожиданно большое влияние на алгебраические свойства рассматриваемых объектов и наоборот — существование непрерывных операций очень сильно влияет на топологические свойства. Например, хаусдорфовость всех отделимых топологических алгебр в данном многообразии равносильна выполнению определённых тождеств в этом многообразии. Главная цель курса — привлечь внимание слушателей к теории топологических универсальных алгебр и её применению в разных областях математики. Для понимания курса желательно знакомство с самыми начальными понятиями базовых курсов алгебры и топологии.
- Универсальные алгебры. Гомоморфизмы, конгруэнции, факторалгебры, подалгебры. Тождества.
- Многообразие алгебр. Теорема Биркгофа.
- Свободные алгебры в данном многообразии, их существование.
- Производные операции. Мальцевский терм (операция Мальцева). Примеры алгебр с производной операцией Мальцева.
- Теорема Мальцева о перестановочности конгруэнций.
- Коммутативность фундаментальной группы линейно связной топологической алгебры, имеющей бинарную операцию с нейтральным элементом.
- Многообразия топологических алгебр. Свободные топологические алгебры, их существование.
- Изоморфизм между несущей абстрактной алгеброй свободной топологической алгебры топологического пространства X в нетривиальном многообразии топологических алгебр и абстрактной свободной алгеброй множества X в соответствующем многообразии абстрактных алгебр.
- Характеризация топологии свободной топологической алгебры топологического пространства X как самой сильной из всех топологий, согласованных с операциями и индуцирующих на множестве X топологию, содержащуюся в топологии пространства X.
- Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента в полугруппе с компактной хаусдорфовой топологией, относительно которой полугрупповая операция непрерывна хотя бы по одному аргументу.
- Фильтры и ультрафильтры. Теорема: всякое центрированное семейство подмножеств данного множества содержится в некотором ультрафильтре. Основное свойство ультрафильтров. Главные и неглавные ультрафильтры.
- Топологическое пространство ультрафильтров, его свойства (компактность, продолжение отображений, вложение исходного множества как дискретного подпространства).
- Полугруппа ультрафильтров на бесконечной полугруппе. Существование идемпотента. Теорема Хиндмана.
- Теорема Арнаутова об алгебраической незамкнутости нуля в бесконечном кольце.
- Факторные отображения, факторные гомоморфизмы топологических алгебр. Открытость факторного гомоморфизма топологических алгебр с производной операцией Мальцева.
- Теорема Мальцева–Тэйлора: для того, чтобы все гомоморфные образы алгебр из данного многообразия топологических алгебр с фактортопологией были топологическими алгебрами, необходимо и достаточно, чтобы среди производных операций этого многообразия была операция Мальцева. Доказательство достаточности и идея доказательства необходимости.
- Теорема: всякий компакт с непрерывной операцией Мальцева является ретрактом топологической группы.
- Свойство Суслина в топологических алгебрах с операцией Мальцева, являющихся счётными объединениями компактов.
- А.И. Мальцев, К общей теории алгебраических систем. Матем. сб. 35(77), №1, с. 3-20 (1954).
- А.И. Мальцев, Свободные топологические алгебры. Изв. АН СССР. Сер. матем. 21, №2, с. 171-198 (1957).
- Общая алгебра, т. 2. Под ред. Л.А. Скорнякова. М.: Наука, 1991.
- О.В. Сипачева, Компакты с непрерывной операцией Мальцева и ретракты топологических групп. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. № 1, с. 33-36 (1991).
- P.M. Garthside, E.A. Reznichenko, O.V. Sipacheva, Mal'tsev and retral spaces. Topol. Appl. 80, p. 115-129 (1997).
- G. Gratzer, Universal Algebra. N.Y.: Springer, 2008.