Введение в теорию множеств и форсинг

Вторник 16:45, аудитория пока не назначена. Первая лекция состоится 17 февраля.

Курс начнётся с подробного введения в теорию множеств, которая является фундаментом практически всей современной математики, но в базовых курсах освещается явно недостаточно. Будет объяснено, что такое натуральные и вещественные числа, мощности множеств, кардиналы, ординалы, трансфинитная индукция, как пользоваться леммой Цорна и т.п. Затем будет рассказано, что такое модель теории, как понимать истинность утверждений в модели и изложены основные факты, связанные с моделями теории множеств (теоремы Гёделя о полноте и неполноте и теорема о существовании счётной модели). Конечная цель курса состоит в подробном изложении метода форсинга, или вынуждения. Он был изобретен для решения проблемы истинности континуум-гипотезы (о (не)существовании несчетного множества, мощность которого строго меньше мощности вещественной прямой). С помощью этого метода удалось доказать, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках аксиом теории множеств. Впоследствии выяснилось, что это универсальный метод построения моделей теории множеств, в которых верны те или иные утверждения. В современной математике без него совершенно невозможно обойтись. С его помощью было установлено, что многие фундаментальные проблемы долгое время оставались нерешенными именно потому, что они в принципе не могут быть решены. В курсе метод будет изложен "с нуля", но со строгим обоснованием. В качестве несложной иллюстрации будет полностью со всей строгостью доказана недоказуемость и   неопровержимость континуум-гипотезы, после чего будут доказаны общие теоремы о границах применимости метода и приведены дальнейшие примеры его применения. Никаких предварительных знаний не требуется.