ВНИМАНИЕ!
Начинаются экзамены. На экзамен по любому спецкурсу нужно записаться в эту таблицу. Со временем появится ещё день или два в экзаменационную сессию. При необходимости будут добавлены дополнительные слоты для записи. Если какие-то слоты в таблице за три часа до экзамена окажутся свободными, я буду считать себя вправе не сидеть в аудитории в соответствующие временные интервалы.
Вторник 16:45, ауд.450 (второй корпус). Первая лекция состоится 17 февраля.
Курс начнётся с подробного введения в теорию множеств, которая является фундаментом практически всей современной математики, но в базовых курсах освещается явно недостаточно. Будет объяснено, что такое натуральные и вещественные числа, мощности множеств, кардиналы, ординалы, трансфинитная индукция, как пользоваться леммой Цорна и т.п. Затем будет рассказано, что такое модель теории, как понимать истинность утверждений в модели и изложены основные факты, связанные с моделями теории множеств (теоремы Гёделя о полноте и неполноте и теорема о существовании счётной модели). Конечная цель курса состоит в подробном изложении метода форсинга, или вынуждения. Он был изобретен для решения проблемы истинности континуум-гипотезы (о (не)существовании несчетного множества, мощность которого строго меньше мощности вещественной прямой). С помощью этого метода удалось доказать, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках аксиом теории множеств. Впоследствии выяснилось, что это универсальный метод построения моделей теории множеств, в которых верны те или иные утверждения. В современной математике без него совершенно невозможно обойтись. С его помощью было установлено, что многие фундаментальные проблемы долгое время оставались нерешенными именно потому, что они в принципе не могут быть решены. В курсе метод будет изложен "с нуля", но со строгим обоснованием. В качестве несложной иллюстрации будет полностью со всей строгостью доказана недоказуемость и неопровержимость континуум-гипотезы, после чего будут доказаны общие теоремы о границах применимости метода и приведены дальнейшие примеры его применения. Никаких предварительных знаний не требуется.
- Формальная теория. Язык логики первого порядка. Логические аксиомы, правила вывода. Функциональные символы, предикаты. Понятие доказательства. Аксиомы теории множеств ZFC. Равносильность аксиомы выбора теореме Тихонова.
- Формулировка теорем Гёделя о полноте и неполноте и теоремы о существовании счетной модели. Парадокс Скулема.
- Упорядоченные, фундированные и вполне упорядоченные множества. Теорема об изоморфизме вполне упорядоченных множеств.
- Транзитивные множества. Ординалы и порядковые типы. Арифметика ординалов. Трансфинитная индукция и рекурсия. Формулировки леммы Цорна и теоремы Цермело, примеры их применения.
- Кардиналы и мощности множеств. Арифметика кардиналов. Теорема Кантора. Континуум-гипотеза.
- Универсум фон Неймана, ранг множества, его свойства.
- Выполнение формулы в множестве. Модели теории множеств. Стандартные транзитивные модели, аксиомы ZFC в таких моделях.
- Генерические множества, их существование для счетной модели. Имена и интерпретации. Определение генерического расширения модели ZFC как множества интерпретаций. Аксиомы ZFC в генерическом расширении, примеры проверки их выполнения.
- Форсинг (вынуждение). Основные теоремы форсинга (лемма об определимости и лемма об истинности), без доказательства.
- Первая теорема о сохранении кардиналов.
- α-Коэновское частично упорядоченное множество. Лемма о Δ-системе. Выполнение условия счетности цепей для α-коэновского множества. Совместимость отрицания континуум-гипотезы с аксиомами ZFC.
- Теорема о сохранении функций и ее следствия.
- Антикоэновское частично упорядоченное множество. Доказательство совместимости континуум-гипотезы с аксиомами ZFC методом форсинга.
- Теорема: континуум-гипотеза равносильная существованию несчетного семейства F аналитическ их функций на множестве комплексных чисел с тем свойством, что для каждого 𝑧 ∈ C множество {𝑓(𝑧) : 𝑓 ∈ F} не более чем счётно (см. книгу [5]).
- Свойство Суслина. Гипотеза Суслина о существовании линейно упорядоченного несепарабельного топологического пространства со свойством Суслина. Прямая Суслина. Несохранение свойства Суслина при возведении прямой Суслина в квадрат.
- Аксиома Мартина. Мультипликативность свойства Суслина в предположении аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы. Справедливость гипотезы Суслина в предположении аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы.
- Замкнутые неограниченные подмножества несчётных регулярных кардиналов. Стационарные множества. Теоремы: Пересечение <κ замкнутых неограниченных подмножеств регулярного кардинала κ замкнуто и неограничено; диагональное пересечение κ замкнутых неограниченных множеств замкнуто и неограничено.
- Лемма Фодора. Теорема: для любого отображения f несчётного регулярного кардинала κ в себя множество {α < κ: ∀β < α(f(β) < f(α))} содержит замкнутое неограниченное множество.
- Сильно недостижимые кардиналы. Существование модели теории множеств ZFC в предположении существования сильно недостижимого кардинала.
- Измеримые кардиналы, измеримые по Уламу кардиналы. Сильная недостижимость любого измеримого кардинала. Теорема: наименьший измеримый по Уламу кардинал измерим.
Старый и неточный конспект (там есть более или менее всё, кроме ответа на вопрос 14).
- Справочная книга по математической логике под ред. Дж. Барвайса. Часть II: Теория множеств. Пер. с англ. М.: Наука (Физматлит), 1982.
- K. Kunen. Set Theory: An Introduction to Indepence Proofs, North Holland, Amsterdam, 1980.
- Т. Йех. Теория множеств и метод форсинга. Пер. с англ. М.: Мир, 1973.
- Н.К. Верещагин, А. Шень, Начала теории множеств, 4-е изд. М.: МЦНМО, 2012.
- Айгнер М. Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. — Мир, 2006.