Псевдо-ℵ₁-компактность ℝ-факторизуемых групп. II

Запланированная дата: 02.10.2025
Докладчик:
О.В. Сипачева
Автор(ы)
Е.А. Резниченко и О.В. Сипачева
Аннотация

Топологическое пространство псевдо-ℵ₁-компактно, если любое дискретное семейство открытых множеств не более чем счётно. Топологическая группа G называется ℝ-факторизуемой, если любая непрерывная функция f: G → ℝ факторизуется через гомоморфизм в группу со счётной базой.

В докладе продолжено изучение четырёх основных проблем теории ℝ-факторизуемых групп:

  1. Верно ли, что всякая ℝ-факторизуемая группа псевдо-ℵ₁-компактна?

  2. Сохраняется ли ℝ-факторизуемость непрерывными гомоморфизмами?

  3. Верно ли, что квадрат ℝ-факторизуемой группы ℝ-факторизуем?
  4. Является ли ℝ-факторизуемость топологическим свойством, т.е. верно ли, что топологическая группа, гомеоморфная ℝ-факторизуемой группе, и сама ℝ-факторизуема?

Если ответ на первый вопрос отрицателен, то отрицательны и ответы на второй и третий вопросы. Кроме того, если ответ на третий вопрос положителен, то положителен и ответ на четвёртый.

Эти вопросы тесно связаны с ℝ-факторизуемостью произведений топологических пространств. (Произведение X × Y называется ℝ-факторизуемым, если любая непрерывная функция f: X × Y → ℝ факторизуется через произведение g × h: X × Y → M1 × M2 непрерывных отображений пространств X и Y в пространства M1 и M2 со счётной базой.)

Доказаны, в частности, следующие утверждения:

  • произведение групп G × H  ℝ-факторизуемо как группа тогда и только тогда, когда группы G и H  ℝ-факторизуемы и G × H  ℝ-факторизуемо как произведение пространств;
  • если произведение пространств X × Y  ℝ-факторизуемо и Y не псевдо-ℵ₁-компактно, то

               а)  произведение пространства X и дискретного пространства D(ω1)  мощности ω1  ℝ-факторизуемо; 

               ​б)  Xω наследственно линделёфово и наследственно сепарабельно;

               в)  если w(X) ≤ ω1, то X имеет счётную базу;

               г)  в предположении CH  X имеет счётную базу;

  • произведение X × D(ω1)  ℝ-факторизуемо тогда и только тогда, любое непрерывное отображение X → ℝω1  факторизуется через непрерывную функцию X → ℝ.