Топологическое пространство псевдо-ℵ₁-компактно, если любое дискретное семейство открытых множеств не более чем счётно. Топологическая группа G называется ℝ-факторизуемой, если любая непрерывная функция f: G → ℝ факторизуется через гомоморфизм в группу со счётной базой.
В докладе продолжено изучение четырёх основных проблем теории ℝ-факторизуемых групп:
-
Верно ли, что всякая ℝ-факторизуемая группа псевдо-ℵ₁-компактна?
-
Сохраняется ли ℝ-факторизуемость непрерывными гомоморфизмами?
- Верно ли, что квадрат ℝ-факторизуемой группы ℝ-факторизуем?
-
Является ли ℝ-факторизуемость топологическим свойством, т.е. верно ли, что топологическая группа, гомеоморфная ℝ-факторизуемой группе, и сама ℝ-факторизуема?
Если ответ на первый вопрос отрицателен, то отрицательны и ответы на второй и третий вопросы. Кроме того, если ответ на третий вопрос положителен, то положителен и ответ на четвёртый.
Эти вопросы тесно связаны с ℝ-факторизуемостью произведений топологических пространств. (Произведение X × Y называется ℝ-факторизуемым, если любая непрерывная функция f: X × Y → ℝ факторизуется через произведение g × h: X × Y → M1 × M2 непрерывных отображений пространств X и Y в пространства M1 и M2 со счётной базой.)
Доказаны, в частности, следующие утверждения:
- произведение групп G × H ℝ-факторизуемо как группа тогда и только тогда, когда группы G и H ℝ-факторизуемы и G × H ℝ-факторизуемо как произведение пространств;
- если произведение пространств X × Y ℝ-факторизуемо и Y не псевдо-ℵ₁-компактно, то
а) произведение пространства X и дискретного пространства D(ω1) мощности ω1 ℝ-факторизуемо;
б) Xω наследственно линделёфово и наследственно сепарабельно;
в) если w(X) ≤ ω1, то X имеет счётную базу;
г) в предположении CH X имеет счётную базу;
- произведение X × D(ω1) ℝ-факторизуемо тогда и только тогда, любое непрерывное отображение X → ℝω1 факторизуется через непрерывную функцию X → ℝ.