Теоретико-множественные аспекты топологии

ВНИМАНИЕ!

С 8-го октября лекции будут читаться в ауд. 429

Расписание:

Среда 15:00, ауд. 429 (второй корпус). Первая лекция состоится 24 сентября.


Осенний семестр, 2025/2026
Аудитория:
студенты 2-6 курсов и аспиранты
По выбору кафедры
Аннотация:

Предполагается обсудить фундаментальные понятия и конструкции общей топологии, которым обычно не уделяется должного внимания в базовом курсе «Введение в топологию». Особое внимание будет уделено теоремам, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть без дополнительных теоретико-множественных предположений (таким как континуум-гипотеза).


Программа

Лекция 1

Аксиомы теории множеств. Натуральные числа. Ординалы и кардиналы. Мощность множества. Порядковый тип вполне упорядоченного множества. Континуум-гипотеза. Модели теории множеств.  

Лекция 2

Множества Бернштейна, доказательство их существования. Стационарные подмножества множества ω1 (всех счётных ординалов). Свойство Суслина, число Суслина.  Проблема Суслина о существовании прямой Суслина — линейно упорядоченного множества без наименьшего и наибольшего элементов, в котором нет ни скачков, ни щелей и которое обладает свойством Суслина, но не сепарабельно (= не изоморфно вещественной прямой). Принцип Йенсена, существование прямой Суслина в предположении его выполнения (без доказательства). Замечание: квадрат прямой Суслина не обладает свойством Суслина. Следствие: в предположении выполнения принципа Йенсена свойство Суслина не мультипликативно.

Лекция 3

Генерические фильтры в частично упорядоченных множествах. Имена и интерпретации. Генерическое расширение модели теории множеств. Вынуждение. Основные теоремы форсинга (о существовании формулы для вынуждения и о существовании для каждого утверждения, выполненного в генерическом расширении, вынуждающего его условия). Коэновское упорядоченное множество. Доказательство недоказуемости континуум-гипотезы. 

Лекция 4

Теорема о сохранении кардиналов при генерическом расширении с помощью упорядоченного множества, удовлетворяющего условию счётности цепей. Аксиома Мартина. Мультипликативность свойства Суслина в предположении выполнения аксиомы Мартина.

Литература
  1. О.В. Сипачева. Начала общей топологии. М.: МЦНМО, 2024. 
  2. Н.К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств. М.: МЦНМО, 2012.
  3. Р. Энгелькинг. Общая топология. М.: Мир, 1986.