Среда 15:00, ауд. 429 (второй корпус). Первая лекция состоится 24 сентября.
Предполагается обсудить фундаментальные понятия и конструкции общей топологии, которым обычно не уделяется должного внимания в базовом курсе «Введение в топологию». Особое внимание будет уделено теоремам, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть без дополнительных теоретико-множественных предположений (таким как континуум-гипотеза).
Лекция 1
Аксиомы теории множеств. Натуральные числа. Ординалы и кардиналы. Мощность множества. Порядковый тип вполне упорядоченного множества. Континуум-гипотеза. Модели теории множеств.
Лекция 2
Множества Бернштейна, доказательство их существования. Стационарные подмножества множества ω1 (всех счётных ординалов). Свойство Суслина, число Суслина. Проблема Суслина о существовании прямой Суслина — линейно упорядоченного множества без наименьшего и наибольшего элементов, в котором нет ни скачков, ни щелей и которое обладает свойством Суслина, но не сепарабельно (= не изоморфно вещественной прямой). Принцип Йенсена, существование прямой Суслина в предположении его выполнения (без доказательства). Замечание: квадрат прямой Суслина не обладает свойством Суслина. Следствие: в предположении выполнения принципа Йенсена свойство Суслина не мультипликативно.
Лекция 3
Генерические фильтры в частично упорядоченных множествах. Имена и интерпретации. Генерическое расширение модели теории множеств. Вынуждение. Основные теоремы форсинга (о существовании формулы для вынуждения и о существовании для каждого утверждения, выполненного в генерическом расширении, вынуждающего его условия). Коэновское упорядоченное множество. Доказательство недоказуемости континуум-гипотезы.
Лекция 4
Теорема о сохранении кардиналов при генерическом расширении с помощью упорядоченного множества, удовлетворяющего условию счётности цепей. Аксиома Мартина. Мультипликативность свойства Суслина в предположении выполнения аксиомы Мартина.
Лекция 5
Лемма о Δ-системе. Доказательство того, что коэновское упорядоченное множество удовлетворяет условию счётности цепей. Теорема: если промзведение любого конечного подсемейства произвольного семейства топологических пространств обладает свойством Суслина, то и произведение всего семейства обладает этим свойством.
Лекция 6
Топологические группы. Основные свойства. Топологическая характеризация групп Ли. Проблема существования недискретной групповой топологии на любой бесконечной группе, контрпримеры Ольшанского и Шелаха.
Лекция 7
Максимальные топологические пространства. Экстремально несвязные топологические пространства. Две теоремы Малыхина: любая экстремально несвязная группа содержит открытую булеву подгруппу и любая топологическая группа с максимальной топологией содержит счётную окрестность единицы.
Лекция 8
Фильтры и ультрафильтры. Главные и неглавные ультрафильтры. Существование неглавного ультрафильтра на бесконечном множестве, содержащего произвольное данное центрированное семейство подмножеств этого множества. Основное свойство ультрафильтров. Отображения ультрафильтров. Сходимость ультрафильтров на топологическом пространстве. Описание замыкания множества в терминах ультрафильтров. Критерии хаусдорфовости, компактности и непрерывности в терминах ультрафильтров. Тихоновское произведение топологических пространств. Теорема Тихонова о компактности произведения компактных пространств.
Лекция 9
Равносильность теоремы Тихонова и аксиомы выбора. Топологическое пространство βX ультрафильтров на множестве X, его основные свойства: хаусдорфовость, компактность. Вложение пространства X с дискретной топологией в βX в качестве открытого всюду плотного подпространства. Продолжение любого отображения множества X в хаусдорфов компакт K до непрерывного отображения βX → K. Продолжение полугрупповой операции с полугруппы S на βS. Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента в полугруппе с топологией, относительно которой операция непрерывна по одному аргументу.
Лекция 10
P-точки в пространстве βℕ. Специальные типы ультрафильтров на ℕ: P-ультрафильтры, Q-ультрафильтры, селективные ультрафильтры. Теорема Рамсея о раскрасках конечных подмножеств бесконечного множества. Рамсеевские ультрафильтры на ℕ, их существование в предположении справедливости континуум-гипотезы.
- О.В. Сипачева. Начала общей топологии. М.: МЦНМО, 2024.
- Н.К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств. М.: МЦНМО, 2012.
- Р. Энгелькинг. Общая топология. М.: Мир, 1986.