ЭКЗАМЕНЫ
Экзамены состоятся 22, 23, 25, 27 и 29 декабря в 17:00 в ауд. 469 одновременно с экзаменом по другому спецкурсу. Во избежание очередей чтобы сдать экзамен, надо записаться в таблицу:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1W2yVmTEWLfcD_VmluDcgL4VahLCH-AvsepKCIyghItY/edit?usp=sharing
Желательно приходить компаниями по 2–3 человека. Не знающие ничего будут изгнаны сразу, поэтому остальным достанется больше, чем по пять минут. Большая просьба запонять последние листы страницы (надеюсь, они окажутся полупустыми) сверху вниз.
Среда 15:00, ауд. 429 (второй корпус). Первая лекция состоится 24 сентября.
Предполагается обсудить фундаментальные понятия и конструкции общей топологии, которым обычно не уделяется должного внимания в базовом курсе «Введение в топологию». Особое внимание будет уделено теоремам, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть без дополнительных теоретико-множественных предположений (таким как континуум-гипотеза).
Лекция 1
Аксиомы теории множеств. Натуральные числа. Ординалы и кардиналы. Мощность множества. Порядковый тип вполне упорядоченного множества. Континуум-гипотеза. Модели теории множеств.
Лекция 2
Множества Бернштейна, доказательство их существования. Стационарные подмножества множества ω1 (всех счётных ординалов). Свойство Суслина, число Суслина. Проблема Суслина о существовании прямой Суслина — линейно упорядоченного множества без наименьшего и наибольшего элементов, в котором нет ни скачков, ни щелей и которое обладает свойством Суслина, но не сепарабельно (= не изоморфно вещественной прямой). Принцип Йенсена, существование прямой Суслина в предположении его выполнения (без доказательства). Замечание: квадрат прямой Суслина не обладает свойством Суслина. Следствие: в предположении выполнения принципа Йенсена свойство Суслина не мультипликативно.
Лекция 3
Генерические фильтры в частично упорядоченных множествах. Имена и интерпретации. Генерическое расширение модели теории множеств. Вынуждение. Основные теоремы форсинга (о существовании формулы для вынуждения и о существовании для каждого утверждения, выполненного в генерическом расширении, вынуждающего его условия). Коэновское упорядоченное множество. Доказательство недоказуемости континуум-гипотезы.
Лекция 4
Теорема о сохранении кардиналов при генерическом расширении с помощью упорядоченного множества, удовлетворяющего условию счётности цепей. Аксиома Мартина. Мультипликативность свойства Суслина в предположении выполнения аксиомы Мартина.
Лекция 5
Лемма о Δ-системе. Доказательство того, что коэновское упорядоченное множество удовлетворяет условию счётности цепей. Теорема: если промзведение любого конечного подсемейства произвольного семейства топологических пространств обладает свойством Суслина, то и произведение всего семейства обладает этим свойством.
Лекция 6
Топологические группы. Основные свойства. Топологическая характеризация групп Ли. Проблема существования недискретной групповой топологии на любой бесконечной группе, контрпримеры Ольшанского и Шелаха.
Лекция 7
Максимальные топологические пространства. Экстремально несвязные топологические пространства. Две теоремы Малыхина: любая экстремально несвязная группа содержит открытую булеву подгруппу и любая топологическая группа с максимальной топологией содержит счётную окрестность единицы.
Лекция 8
Фильтры и ультрафильтры. Главные и неглавные ультрафильтры. Существование неглавного ультрафильтра на бесконечном множестве, содержащего произвольное данное центрированное семейство подмножеств этого множества. Основное свойство ультрафильтров. Отображения ультрафильтров. Сходимость ультрафильтров на топологическом пространстве. Описание замыкания множества в терминах ультрафильтров. Критерии хаусдорфовости, компактности и непрерывности в терминах ультрафильтров. Тихоновское произведение топологических пространств. Теорема Тихонова о компактности произведения компактных пространств.
Лекция 9
Равносильность теоремы Тихонова и аксиомы выбора. Топологическое пространство βX ультрафильтров на множестве X, его основные свойства: хаусдорфовость, компактность. Вложение пространства X с дискретной топологией в βX в качестве открытого всюду плотного подпространства. Продолжение любого отображения множества X в хаусдорфов компакт K до непрерывного отображения βX → K. Продолжение полугрупповой операции с полугруппы S на βS. Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента в полугруппе с топологией, относительно которой операция непрерывна по одному аргументу.
Лекция 10
P-точки в пространстве βℕ. Специальные типы ультрафильтров на ℕ: P-ультрафильтры, Q-ультрафильтры, селективные ультрафильтры. Теорема Рамсея о раскрасках конечных подмножеств бесконечного множества. Рамсеевские ультрафильтры на ℕ, их существование в предположении справедливости континуум-гипотезы.
Лекция 11
Доказательство неоднородности компакта βℕ \ ℕ в предположении справедливости континуум-гипотезы. Теорема: хаусдорфов компакт K гомеоморфен компакту βℕ тогда и только тогда, когда K содержит счётное всюду плотное подпространство X с тем свойством, что любое отображение из X в любой хаусдорфов компакт Y продолжается до непрерывного отображения K → Y. Теорема: любое бесконечное замкнутое подпространство пространства βℕ содержит гомеоморфную копию пространства βℕ. Следствие: в пространстве βℕ нет сходящихся последовательностей.
Лекция 12
ℝ-факторизуемые топологические группы. ℝ-факторизуемые произведения топологических пространств. ℝω1-факторизуемые пространства, их свойства. Ограниченные семейства функций ω → ω. Счётный веер Фреше–Урысона, равносильность его ℝω1-факторизуемости ограниченности любого семейства функций ω → ω мощности ω1. Критерий существования ℝω1-факторизуемого пространства без счётной базы в терминах существования специального фильтра на ω. Проблема сохранения ℝ-факторизуемости топологических групп при умножении на счётную группу.
- О.В. Сипачева. Начала общей топологии. М.: МЦНМО, 2024.
- Н.К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств. М.: МЦНМО, 2012.
- Р. Энгелькинг. Общая топология. М.: Мир, 1986.