Понедельник 16:45, ауд. 424 (второй корпус). Первая лекция состоится 29 сентября.
Будет рассказано, что такое ультрафильтры, как устроена топологическая полугруппа ультрафильтров и как с её помощью можно просто и изящно доказать знаменитые теоремы о раскрасках бесконечных множеств, включая теорему ван дер Вардена об арифметических прогрессиях и теорему Хиндмана о разбиениях групп. Будет продемонстрировано, что применение ультрафильтров позволяет радикально упростить доказательства некоторых трудных теорем алгебры и топологии. Кроме того, будут рассмотрены специальные типы ультрафильтров на счетных множествах и важные следствия их существования, а также фильтры и ультрафильтры на несчетных множествах и большие кардиналы.
Лекция 1
Фильтры, ультрафильтры. Главные и неглавные ультрафильтры. Центрированные семейства множеств. Теорема: всякое центрированное семейство подмножеств бесконечного множества содержится в некотором ультрафильтре. Существование неглавных ультрафильтров. Основное свойство ультрафильтров. Применение ультрафильтров в нестандартном анализе. Сходимость фильтров и ультрафильтров в топологическом пространстве. Критерий компактности в терминах ультрафильтров. Теорема Тихонова о компактности произведения компактов (с доказательством).
Лекция 2
Доказательство равносильности теоремы Тихонова и аксиомы выбора. Топологическое пространство ультрафильтров на произвольном множестве, его база, компактность и хаусдорфовость. Вложение дискретного пространства X в пространство ультрафильтров βX в качестве всюду плотного открытого подпространства главных ультрафильтров. Непрерывное продолжение отображений из X в компакты на пространство ультрафильтров.
Лекция 3
Продолжение полугрупповой операции с полугруппы S на пространство ультрафильтров βS. Ассоциативность продолженной операции. Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента в полугруппе с компактной топологией. Теорема Хиндмана. Следствие: теорема Шура.
Лекция 4
Топологические группы, аксиомы отделимости в топологических группах. Проблема Маркова о существовании нетопологизируемой бесконечной группы. Замкнутость множеств решений уравнений во всех групповых топологиях на группе. Два примера нетопологизируемых групп. Алгебраически изолированные точки в группах и кольцах. Теорема Арнаутова о несуществовании алгебраически изолированных точек в бесконечных кольцах. Теорема о существовании и замкнутости минимальных левых идеалов в полугруппах с компактной топологией.
Лекция 5
Теорема о существовании и замкнутости минимального левого идеала в полугруппе с компактной топологией. Теорема ван дер Вардена о существовании одноцветных сколь угодно длинных арифметических прогрессий при любой раскраске в конечное число цветов множества натуральных чисел. Теорема Рамсея о существовании бесконечного однородного множества при любой раскраске в конечное число цветов k-элементных подмножеств бесконечного множества.
Лекция 6
Теорема компактности для разбиений. Конечные версии теорем ван дер Вардена, Хиндмана и Шура. Следствие: теорема анти-Ферма для уравнений по модулю больших простых чисел.
Лекция 7
Топологические свойства пространства ультрафильтров βℕ. Теорема: хаусдофов компакт K гомеоморфен пространству βℕ тогда и только тогда, когда он содержит всюду плотное подпространство X с тем свойством, что любое отображение из X в любой хаусдорфов компакт продолжается до непрерывного отображения из K в этот компакт. Существование сепарабельного компакта мощности 2c (здесь с — континуум). Мощность пространства βℕ. Теорема: любое бесконечное замкнутое подпространство пространства βℕ содержит гомеоморфную копию пространства βℕ. Следствие: в пространстве βℕ нет нетривиальных сходящихся последовательностей.
- N. Hindman, D. Strauss. Algebra in the Stone-Cech Compactification: Theory and Applications. Berlin-Boston: De Gruyter, 2012.
- Y. Zelenyuk. Ultrafilters and Topologies on Groups. Berlin-New York: De Gruyter, 2011.
- W. W. Comfort, S. Negrepontis. The Theory of Ultrafilters. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1974.