Применение ультрафильтров в комбинаторике, алгебре и топологии

Лекция 1

Фильтры, ультрафильтры. Главные и неглавные ультрафильтры. Центрированные семейства множеств. Теорема: всякое центрированное семейство подмножеств бесконечного множества содержится в некотором ультрафильтре. Существование неглавных ультрафильтров. Основное свойство ультрафильтров. Применение ультрафильтров в нестандартном анализе. Сходимость фильтров и ультрафильтров в топологическом пространстве. Критерий компактности в терминах ультрафильтров. Теорема Тихонова о компактности произведения компактов (с доказательством).

Лекция 2

Доказательство равносильности теоремы Тихонова и аксиомы выбора. Топологическое пространство ультрафильтров на произвольном множестве, его база, компактность и хаусдорфовость. Вложение дискретного пространства X в пространство ультрафильтров βX в качестве всюду плотного открытого подпространства главных ультрафильтров. Непрерывное продолжение отображений из X в компакты на пространство ультрафильтров. 

Лекция 3

Продолжение полугрупповой операции с полугруппы S на пространство ультрафильтров βS. Ассоциативность продолженной операции. Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента в полугруппе с компактной топологией. Теорема Хиндмана. Следствие: теорема Шура.

Лекция 4

Топологические группы, аксиомы отделимости в топологических группах. Проблема Маркова о существовании нетопологизируемой бесконечной группы. Замкнутость множеств решений уравнений во всех групповых топологиях на группе. Два примера нетопологизируемых групп. Алгебраически изолированные точки в группах и кольцах. Теорема Арнаутова о несуществовании алгебраически изолированных точек в бесконечных кольцах. Теорема о существовании и замкнутости минимальных левых идеалов в полугруппах с компактной топологией.

Лекция 5

Теорема о существовании и замкнутости минимального левого идеала в полугруппе с компактной топологией. Теорема ван дер Вардена о существовании одноцветных сколь угодно длинных арифметических прогрессий при любой раскраске в конечное число цветов множества натуральных чисел. Теорема Рамсея о существовании бесконечного однородного множества при любой раскраске в конечное число цветов k-элементных подмножеств бесконечного множества.

Лекция 6

Теорема компактности для разбиений. Конечные версии теорем ван дер Вардена, Хиндмана и Шура. Следствие: теорема анти-Ферма для уравнений по модулю больших простых чисел. 

Лекция 7

Топологические свойства пространства ультрафильтров βℕ. Теорема: хаусдорфов компакт K гомеоморфен пространству βℕ тогда и только тогда, когда он содержит всюду плотное подпространство X с тем свойством, что любое отображение из X в любой хаусдорфов компакт продолжается до непрерывного отображения из K в этот компакт. Существование сепарабельного компакта мощности 2^c  (здесь с — континуум). Мощность пространства βℕ. Теорема: любое бесконечное замкнутое подпространство пространства βℕ содержит гомеоморфную копию пространства βℕ. Следствие: в пространстве βℕ нет нетривиальных сходящихся последовательностей. P-точки в топологическом пространстве. P-точки в пространстве βℕ. Селективные ультрафильтры, Q-ультрафильтры и быстрые ультрафильтры на ℕ. Рамсеевские ультрафильтры. Существование рамсеевских ультрафильтров в предположении справедливости континуум-гипотезы. 

Лекция 8

Быстрые ультрафильтры, необходимые и достаточные условия быстроты ультрафильтра. Жирные множества в группах. Примеры жирных множеств. Лемма: пересечение жирных множеств жирное. Теорема: если фильтр окрестностей единицы в счётной топологической группе небыстрый, то в этой группе имеется дискретное множество с единственной предельной точкой.

Лекция 9

Максимальные топологические пространства. Экстремально несвязные пространства. Лемма о Δ-системе. Две теоремы Малыхина: в любой экстремально несвязной топологической группе имеется открытая булева подгруппа; в любой максимальной (как топологическое пространство) топологической группе имеется счётная окрестность единицы. Следствие: если не существуют быстрые ультрафильтры, то не существуют и максимальные топологические группы.

Лекция 10

Замкнутые неограниченные множества в несчётных кардиналах. Теорема: пересечение счётного числа замкнутых неограниченных множеств в ω₁ замкнуто  и неограничено. Теорема: диагональное пересечение семейства замкнутых неограниченных множеств в ω₁, имеющего мощность ω₁, замкнуто и неограничено. Стационарные множества. Лемма Фодора (pressing down lemma). Теорема: для любой функции f: ω₁ → ω₁ множество всех ординалов α ∈ ω₁ с тем свойством, что f(β) < α для любого β < α замкнуто и неограничено. 

Лекция 11

Теорема: для любой функции f: ω₁ → ω₁  либо существует стационарное множество, на котором f постоянна, либо сужение функции f на некоторое замкнутое неограниченное множество инъективно. Измеримые кардиналы. Сильно недостижимые кардиналы. Недоказуемость непротиворечивости существования сильно недотижимого кардинала. Теорема: всякий измеримый кардинал сильно недостижим. Теорема: наименьший кардинал, на котором существует неглавный ультрафильтр, замкнутый относительно счётных пересечений его элементов, измерим. 

Лекция 12

ℝ-факторизуемые топологические группы. ℝ-факторизуемые произведения топологических пространств. ℝ^ω₁-факторизуемые пространства, их свойства. Ограниченные семейства функций ω → ω. Счётный  веер Фреше–Урысона, равносильность его ℝ^ω₁-факторизуемости ограниченности любого семейства функций ω → ω мощности ω₁. Критерий существования ℝ^ω₁-факторизуемого пространства без счётной базы в терминах существования специального фильтра на ω. Проблема сохранения  ℝ-факторизуемости топологических групп при умножении на счётную группу. 

1. N. Hindman, D. Strauss. Algebra in the Stone-Cech Compactification: Theory and Applications. Berlin-Boston: De Gruyter, 2012. 
2. Y. Zelenyuk. Ultrafilters and Topologies on Groups. Berlin-New York: De Gruyter, 2011. 
3. W. W. Comfort, S. Negrepontis. The Theory of Ultrafilters. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1974.