Хемикомпактность и k_ω-свойство свободных топологических векторных пространств

Для тихоновского пространства X рассматривается векторное пространство с базисом X в различных естественных топологиях. Это слабые топологии L_b(X) и L_p(X), порождённые C_b(X) и C(X), свободное локально выпуклое пространство L(X), свободные локально r-выпуклые и локально псевдовыпуклые пространства, а также свободное топологическое векторное пространство V(X). Доказано, что:

• L_b(X) хемикомпактно лишь для конечного X;
• для любой векторной топологии между L_p(X) и свободной локально псевдовыпуклой топологией хемикомпактность равносильна тому, что X счётно и все его компакты конечны;
• V(X), так же как свободные топологические группы F(X) и A(X), хемикомпактно тогда и только тогда, когда X хемикомпактно.

В частности, V([0,1]) хемикомпактно, а L([0,1]) и L_p([0,1]) — нет. Получено также описание k_ω-свойства: L_b(X) и L_p(X) являются k_ω-пространствами лишь при конечном X, а свободные локально r-выпуклые пространства (0 ≤ r ≤ 1) — лишь при счётном дискретном X.